Mărimile medii și utilitatea lor în statistică

Pentru a caracteriza tendinta centrala din manifestarea unui fenomen de masa se calculeaza media valorilor individuale înregistrate pentru caracteristica cercetata. Când multimea valorilor individuale înregistrate este eterogena, colectivitatea va fi structurata pe grupe omogene, pentru care se calculeaza medii partiale. Principalele medii utilizate în statistica sunt: media aritmetica, armonica, patratica, geometrica calculate ca medii simple sau ponderate.

Mediile simple se folosesc când seriile au frecvente singulare sau atunci când frecventele tuturor valorilor sunt egale între ele si deci se pot simplifica.

Mediile ponderate se utilizeaza în repartitie în care fiecarei valori a caracteristicii i se poate atasa o frecventa, care difera de la caz la caz.

Media aritmetica

Media aritmetica este rezultatul sistematizarii într-o singura expresie numerica a tuturor nivelurilor individuale observate, obtinuta prin raportarea valorii totalizate a caracteristicii la numarul total al unitatilor si notata pentru o caracteristica X cu . Relatia de calcul a mediei aritmetice simple este:

Relatia de calcul a mediei aritmetice ponderate este:

unde:

- valorile individuale distincte înregistrate de unitatile seriei, care sunt mai putin numeroase decât unitatile colectivitatii. Numarul de unitati distincte este k si k < n =

- valoarea centralizata a caracteristicii la toate unitatile ( ), care prezinta acelasi nivel ( ).

Media aritmetica ponderata poate fi calculata atât într-o serie de repartitie de frecvente pe variante sau pe intervale egale cât si neegale.

Pentru seria de variante media se calculeaza efectuând produsele de frecventa, însumându-le si raportându-le la totalul frecventelor.

Pentru seriile cu caracteristica grupata pe intervale de variatie se porneste de la ipoteza ca frecventele se distribuie uniform în fiecare interval.

Astfel, pentru calculul mediei seriei se determina mai întâi centrele de interval (ca medie aritmetica simpla a celor doua limite), care se vor nota cu si apoi produsele .

Media se exprima în aceleasi unitati de masura ca si valorile variabilei statistice din care s-a calculat.

Când pentru valorile individuale dispunem de frecvente relative   ( ) si nu de frecventele absolute   media aritmetica se va calcula dupa relatiile urmatoare, fara ca valoarea mediei sa se schimbe:

- pentru frecventele relative exprimate în procente:

cu

- pentru frecventele relative exprimate în coeficienti:

, unde

Calculul simplificat al mediei aritmetice ponderate în seriile de intervale.

Pe baza proprietatilor mediei aritmetice se pot calcula mediile centrelor de interval micsorate cu o constanta si simplificate cu o constanta, dupa relatia:

În cazul în care intervalele sunt neegale, cele doua constante se aleg astfel încât sa simplifice calculul mediei, respectiv reducerea termenilor ca si simplificarea lor prin k trebuie sa se faca separat.

Media armonica

Media armonica se defineste ca valoare inversa a mediei aritmetice calculata din inversele valorilor individuale înregistrate.

Folosind notatia cunoscuta pentru termenii seriei, valorile lor inverse vor fi .

Media armonica simpla se noteaza cu si se determina cu relatia:

Relatia de calul a mediei armonice ponderate este:

- daca se utilizeaza frecventele absolute: