Elemente de teoria estimării - verificarea ipotezelor statistice

Estimaţii

Teoria estimaţiei urmăreşte evaluarea parametrilor unei repartiţii în general cunoscute. Valorile numerice obţinute se numesc estimaţii sau estimatori. Se obţin estimaţii punctuale în cazul în care se folosesc datele selecţiei pentru a obţine valorile parametrilor şi estimaţii ale intervalelor de încredere în cazul în care se determină un interval în care se află, cu o anumită probabilitate valoarea estimată.

Un estimator al parametrului se va nota cu O estimaţie este nedeplasată dacă , adică media estimaţiei este egală chiar cu valoarea teoretică a parametrului estimat.

Conform proprietăţii 2.3.5.1, adică media de selecţie este un estimator nedeplasat al mediei, iar conform proprietăţii 2.3.5.2., adică dispersia de selecţie este un estimator nedeplasat al dispersiei.

Problema estimării intervalelor se reduce la găsirea unui interval de încredere cu un coeficient de încredere astfel încât

Este de dorit ca să fie cât mai mare (de obicei este cuprins între 0,9 şi 0,99) iar intervalul să fie cât mai mic. În stabilirea intervalelor se utilizează caracteristicile numerice cuantile. Se numesc cuantile de ordin valoarea a variabilei aleatoare pentru care adică valoarea variabilei aleatoare care are la stânga ei aria sub curba densităţii de probabilitate. Evident:

Pentru a estima un interval se alege , se citesc din tabelele cuantilele, de exemplu şi şi se precizează intervalul. În prealabil, în funcţie de mărimea pentru care se caută intervalul se precizează cu care din repartiţiile cunoscute trebuie lucrat.

Estimarea intervalelor de încredere pentru medii

Cazul când se cunoaste dispersia.

Se consideră o populaţie repartizată normal Dacă se cunoaşte dispersia se poate folosi faptul că este repartizată Se notează cu cuantila de ordinul pentru repartiţia Evident

Aşadar intervalul este un interval de estimare cu coeficientul de încredere Din anumite puncte de vedere este recomandabil să se utilizeze acele intervale care lasă atât la dreapta cât şi la stânga lor aceeaşi arie, egală cu

Deoarece repartiţia este simetrică faţă de axa Oy avem relaţia

Mărimea poartă numele de eroare şi serveşte la calculul numărului de experienţe atunci când este impusă eroarea şi se alege un coeficient

Metoda descrisă mai poate fi aplicată şi în cazul în care x nu este repartizată normal deoarece z este repartizată indiferent de repartiţia variabilelor (teorema limită centrală).

Cazul când dispersia este necunoscută

Dacă nu se cunoaste dispersia în estimarea intervalelor se utilizează dispersia de selecţie care este un estimator nedeplasat al dispersiei deoarece

Se consideră o selecţie dintr-o populaţie de tipul

Conform celor arătate anterior mărimea este repartizată şi, ca urmare

Deoarece repartitia Student este simetrică faţă de origine şi înlocuindu-l pe T în relaţia anterioară, se obţine