Determinarea principiului Hamilton din ecuațiile Lagrange

Hamiltonianul descrie energia totală a unui sistem. Pentru un sistem închis, el este suma energiei cinetice și a energiei potențiale a sistemului. Hamiltonianul reprezintă un set de ecuații diferențiale, cunoscute drept ecuațiile lui Hamilton, care descriu evoluția în timp a unui sistem. Hamiltonianul poate fi folosit pentru a descrie mișcarea sistemelor simple, precum un pendul sau un arc care oscilează și care schimbă energia cinetică în energie potențială și invers, precum și pentru sisteme dinamice complexe, de exemplu orbitele planetare din mecanica cerească, sau cele din mecanica cuantică.

Ecuațiile lui Hamilton sunt scrise la modul general sub forma:

În aceste ecuații punctul denotă derivata în raport cu timpul a funcțiilor p = p(t), numit impuls generalizat, și q = q(t), numită coordonată generalizată, iar = este hamiltonianul.

Mai explicit, putem scrie:

dar trebuie să specificăm domeniul în care variază timpul t.

Dacă aplicăm ecuațiile lui Hamilton asupra unui sistem unidimensional format dintr-o particulă de masă m, cu condiții la limită independente de timp, interpretarea acestor ecuații este următoarea: Hamiltonianul reprezintă energia totală a sistemului formată din suma energiei cinetice și potențiale, notate tradițional cu T, respectiv V. În acest sistem q este coordonata x, iar p este impulsul mv. Astfel că, obținem:

De notat că T este funcție numai de p, iar V este funcție numai de x (sau q).