Determinarea Caracteristicilor Cinematice Ale Mișcării Punctului

Cunoscand ecuatiile miscarii punctului M de gasit traiectoria miscarii lui si pentru momentul de timp t de gasit pozitia punctului pe traiec- torie, viteza, acceleratia, acceleratia tangentiala, acceleratia normala si raza curburei traiectoriei in punctul dat.

Se da: x= 7sin2 (pt/6) -5 cm y=-7cos2 (pt/6) cm t=1 s y=f (x); M1; v1; a1; a1t; a1n; 1; Rezolvare: 1. Ecuatiile x= 7sin2 (pt/6) -5 si y=-7cos2 (pt/6) (1) pot fi privite ca ecuatiile parametrice a traiectoriei punctului.

Pentru a primi ecuatia traiectoriei punctului M1 in coordonate exclu- dem timpul t din (1). x+5=7sin2 (pt/6), -y=7cos2 (pt/6) Adunand parte cu parte ecutiile obtinem: x+5-y=7 => y=x-2 (2) -traiectoria. Deoarece functiile sin2 (x) si cos2 (x) primesc valorile pe intervalul [0; 1] => din (1) ca traiectoria miscarii punctului M1 este un segment marginit de punctele cu coordonatele (-5; -7) si (2; 0). Pozitia punctului M1 pe traiectorie in timpul t=1 s est determinata de coordonatele M1 (-13/4; -21/4); 2. Pentru a afla modulul vitezei calculam componentele ei vx si vy Vx=dx/dt => Vx=7*2sin (pt/6) *cos (pt/6) *p/6= (7p/6) *sin (pt/3) cm/s; (3) Vy=dy/dt => Vy=-7*2cos (pt/6) * (-sin (pt/6)) *p/6= (7p/6) *sin (pt/3) cm/s; (4) Din (3) si (4) => vx=vy. => vx1=vy1=7pv3/12 cm/s; V=vvx2+vy2=v (98p2/36) sin2 (pt/3) = (7pv2/6) sin (pt/3) cm/s; (5) Din (5) => V1=7pv2/6*v3/2=7pv6/12 cm/s; Sensul vitezei poate fi exprimat in felul urmator: V=vxi + vyj; (6) Din (6) => V1= (7pv3/12) i + (7pv3/12) j; 3. Pentru a afla modulul acceleratiei calculam componentele ei ax si ay ax=dvx/dt => ax= (7p/6) cos (pt/3) *p/3= (7p2/18) *cos (pt/3) cm/s2; Deoarece Vx=Vy => ax=ay; (7) Din (7) => ax1=ay1= 7p2/18*1/2=7p2/36 cm/s2; a=vax2+ay2= (7p2v2/18) cos (pt/3) cm/s2; => a1=7p2v2/18*1/2=7p2v2/36 cm/s2; Sensul acceleratiei poate fi exprimat in felul urmator: a=axi + ayj; (8) Din (8) => a1= (7p2/36) i + (7p2/36) j; 4. at=d2s/dt2*t cm/s2; Din urmatoarele formule: v=ds/dt*t, v=vt*t constatam ca acceleratia tangentiala poate fi scrisa in felul urmator: at=dvt/dt*t cm/s2. Tinand cont de faptul ca in cazul dat vt=v => at=dv/dt*t= (7pv2/6) *cos (pt/3) *p/3 cm/s2=> at= (7p2v2/18) cos (pt/3) *t cm/s2; (9) Din (9) => a1t=7p2v2/18*1/2=7p2v2/36 cm/s2 5. an=v2/?*n cm/s2; Tinand cont de faptul ca acceleratia normala poate fi exprimata din urmatoarea formula: a=an + at => an=va2 (at) 2 => a1n=va12 (a1t) 2=v49p4/648 - 49p4/648=0 cm/s2. =v2/an; Din relatia de mai sus obtinem 1=v12/a1n. Stiindul pe a1n obtinem 1= (294p2/144) /0=8 ...