Valori Medii

Extras din referat Cum descarc?

I. VALOAREA MEDIE
Comportarea unei variabile aleatoare este descrisa de repartitia sa.
Dar, in practica este foarte important sa o putem caracteriza printr-un numar cat mai mic de date. O caracteristica numerica foarte importanta si foarte simpla a unei variabile aleatoare este valoarea sa medie.
a) Valoarea medie a unei repartitii discrete
Fie X o variabila aleatoare simpla si fie:
( reparitia sa.
Sa presupunem ca asupra experientei care a generat variabila aleatoare X facem un numar N de probe, si fie frecventele relative ale valorilor Daca facem media aritmetica a valorilor pe care le-a luat X in cele N probe, obtinem drept rezultat:
Dar, pentru N foarte mare, frecventete relative sunt aproximativ egale cu probabilitatile , astfel ca putem afirma ca media aritmetica a valorilor lui X, intr-un numar mare de probe, oscileaza in jurul constantei:
Definitie: Numim valoare medie a variabilei aleatoare discrete X, numarul:
- Exemplu: Intr-o urna sunt 10 bile identice dintre care: sase sunt notate cu cifra 1, trei sunt notate cu cifra 2 si una este notata cu cifra 3.
Care este valoarea medie a numarului inscris pe o bila extrasa la intamplare?
Daca experienta consta in extragerea intamplatoare a unei bile din urna, sa notam cu X variabila aleatoare care ia ca valori numarul inscris pe bila extrasa. Este usor de constatat ca repartitia lui X este:
Atunci, conform definitiei 
Observatie: In acest exemplu constatam ca valoarea medie a variabilei X nu coincide cu nici una dintre valorile sale posibile, numarul 1,5 negasindu-se inscris pe nicio bila. De aici se vede ca afirmatia "ne asteptam ca, in medie, numarul inscris pe bila extrasa sa fie 1,5" se bazeaza pe o interpretare gresita a notiunii de valoare medie. Adevaratul sens al acestei notiuni, asa cum rezulta din definitie, este cel de medie ponderata a tuturor valorilor posibile ale variabilei.
b) Valoarea medie a unei variabile aleatoare continue
Fie X, o variabila aleatoare continua si F(x), functia sa de repartitie.
Definitie: Valoarea medie a variabilei aleatoare X este numarul daca, integrala din membrul drept exista.
Daca f(x) este densitatea de repartitie a variabilei aleatoare X, atunci dF(x)=f(x) dx si deci:
expresie mult mai convenabila pentru calculul numeric.
Observatie: Definitia data aici poate fi considerata ca o definitie generala a valorii medii a oricarei variabile aleatoare, ea coincizand, in cazul discret, cu definitia data anterior.

Fisiere in arhiva (1):

 Valori Medii.doc