Valori Medii

I. VALOAREA MEDIE

Comportarea unei variabile aleatoare este descrisă de repartiţia sa.

Dar, în practică este foarte important să o putem caracteriza printr-un număr cât mai mic de date. O caracteristică numerică foarte importantă şi foarte simplă a unei variabile aleatoare este valoarea sa medie.

a) Valoarea medie a unei repartiţii discrete

Fie X o variabilă aleatoare simplă şi fie:

( repariţia sa.

Să presupunem că asupra experienţei care a generat variabila aleatoare X facem un număr N de probe, şi fie frecvenţele relative ale valorilor Dacă facem media aritmetică a valorilor pe care le-a luat X în cele N probe, obţinem drept rezultat:

Dar, pentru N foarte mare, frecvenţete relative sunt aproximativ egale cu probabilităţile , astfel că putem afirma că media aritmetică a valorilor lui X, într-un număr mare de probe, oscilează în jurul constantei:

Definiţie: Numim valoare medie a variabilei aleatoare discrete X, numărul:

- Exemplu: Într-o urnă sunt 10 bile identice dintre care: şase sunt notate cu cifra 1, trei sunt notate cu cifra 2 şi una este notată cu cifra 3.

Care este valoarea medie a numărului înscris pe o bilă extrasă la întâmplare?

Dacă experienţa constă în extragerea întâmplătoare a unei bile din urnă, să notăm cu X variabila aleatoare care ia ca valori numărul înscris pe bila extrasă. Este uşor de constatat că repartiţia lui X este:

Atunci, conform definiţiei

Observaţie: În acest exemplu constatăm că valoarea medie a variabilei X nu coincide cu nici una dintre valorile sale posibile, numărul 1,5 negăsindu-se înscris pe nicio bilă. De aici se vede că afirmaţia “ne aşteptăm ca, în medie, numărul înscris pe bila extrasă să fie 1,5” se bazează pe o interpretare greşită a noţiunii de valoare medie. Adevăratul sens al acestei noţiuni, aşa cum rezultă din definiţie, este cel de medie ponderată a tuturor valorilor posibile ale variabilei.

b) Valoarea medie a unei variabile aleatoare continue

Fie X, o variabilă aleatoare continuă şi F(x), funcţia sa de repartiţie.

Definiţie: Valoarea medie a variabilei aleatoare X este numărul dacă, integrala din membrul drept există.

Dacă f(x) este densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare X, atunci dF(x)=f(x) dx şi deci:

expresie mult mai convenabilă pentru calculul numeric.

Observaţie: Definiţia dată aici poate fi considerată ca o definiţie generală a valorii medii a oricărei variabile aleatoare, ea coincizănd, în cazul discret, cu definiţia dată anterior.