Triunghiul lui Pascal

Numerele din figura (1) sunt coeficientii binomiali, iar dispunerea lor sub forma de tabel triunghiular se numeste triunghiul lui Pascal.

Insusi Pascal numea acest triunghi aritmetic.

Unii dintre coeficientii binomiali si descompunerea lor intr-un tabel triunghiular apar si in scrierile altor autori, anterioare lucrarii lui Pascal.

Meritele lui Pascal in aceasta descoperire sunt suficiente pentru a justifica utilizarea numelui lui.

In primul rand trebuie sa introducem o notatie pentru numerele continute in triunghiul lui Pascal.

Pentru noi fiecare numar asociat unui punct din acest triunghi are o semnificatie geometrica: el indica numarul de trasee distincte, in zigzag, de lungime minima, de la varful triunghiului pana la punctul respectiv. Fiecare din aceste trasee trece de-a lungul unui aceluiasi numar de cvartale sa spunem de-a lungul a n cvartale. Mai mult, toate aceste trasee concorda intre ele si in ceea ce priveste numarul de cvartale strabatute mergand spre sud-vest si numarul de cvartale strabatute mergand spre sud-est. Fie l si respectiv r aceste numere (l inseamna deplasari spre stanga, r inseamna deplasari spre dreapta, bineinteles in fiecare caz directia generala este de sus in jos). Evident: n=l+r. Daca notam doua din cele trei numere n, l si r, al treilea este complet determinat, si tot asa este si punctul la care ele se refera.

Vom nota cu Crn (combinari de n luate cate r) numarul de trasee minime de la varful triunghiului lui Pascal pana la punctul specificat de numarul n (numarul total de cvartete) si numarul r (cvartetele strabatute mergand spre dreapta). De exemplu in figura (3): C38=56; C510=252. Simbolurile pentru numerele din figura (1), au fost grupate in mod corespunzator in figura (3). Simbolurile cu acelasi numar inferior n se aliniaza pe orizontala in lungul bazei de ordinul n, este vorba de baza unui triunghi dreptunghic.

Simbolurile cu acelasi numar superior r se aliniaza oblic in lungul bulevardului cu numarul r.

Figura (3) In al doilea rand pe langa aspectul geometric, triunghiul lui Pascal prezinta si un aspect legat de proprietati numerice si de calcul. Toate numerele de-a lungul frontierelor (strada zero, bulevardul zero si punctul lor comun de plecare) sunt egale cu 1. Prin urmare: C0n=Cnn=1. Aceasta relatie se numeste conditia la limita a triunghiului lui Pascal.

Orice numar din interiorul triunghiului lui Pascal este situat pe un anumit rand orizontal, sau pe o anumita baza. Un numar oarecare de pe baza (n+1) se calculeaza mergand inapoi sau recurgand la cele doua numere vecine de pe baza n: Crn+1=Crn+Cr-1n. Aceasta formula se numeste formula de recurenta a triunghiului lui Pascal.

Din punctul de vedere al proprietatilor de calcul, numerele Crn sunt determinate de formula de recurenta si de conditia la limita a triunghiului lui Pascal.

Cand calculam un numar din triunghiul lui Pascal folosind formula de recurenta, trebuie sa ne bazam pe ...