Topologii Slabe pe Spații Normate

I.1Preliminarii asupra topologiei celei mai putin fine care face continue toate aplicaţiile unei familii

Vom începe cu cateva preliminarii de topologie generală. Fie X o mulţime şi o familie de spaţii topologice. Pentru fiecare consideram o aplicaţie

Problema 1. Sa se construiasca pe X o topologie astfel încat toate aplicaţiile să fie continue. Daca este posibil, să se construiască topologia cea mai puţin fină T, adică aceea cu cele mai puţine mulţimi deschise [altfel zis, topologia cea mai "economică"] care face ca orice aplicaţie să fie continuă.

Observăm că dacă X este înzestrat cu topologia discretă (adică orice submulţime a lui X este deschisă), atunci orice aplicatie ; desigur, această topologie este departe de a fi cea mai "economică" - este chiar cea mai puţin economică! Fie o multime deschisă; atunci este, în mod necesar o mulţime deschisă pentru topologia T. Dacă descrie familia mulţimilor deschise ale lui si parcurge I, multimile formează o familie de submulţimi ale lui X care sunt, în mod necesar, deschişi în topologia T; notăm această familie cu Topologia T este topologia cea mai puţin fină astfel încat toate mulţimile sunt deschise. Am ajuns aşadar la problema următoare:

Problema 2. Să se construiască familia F de submulţimi ale lui X, cea mai economică cu putinşa, care să fie stabilă în raport cu si şi astfel încat , pentru orice Răspunsul la problema 2 este dat de construcţia urmatoare.

Considerăm mai întai intersecţiile finite finită. Obţinem astfel o familie de submulţimi ale lui X, stabilă în raport cu Se consideră apoi familia F obţinuta prin reuniuni arbitrare de elemente din Este clar că familia F este stabilă în raport cu reuniuni arbitrare; din contră, nu este evident că familia F este stabila în raport cu intersecţiile finite. Acest lucru face obiectul urmatorului rezultat

Lema I 1. Familia F este stabilă în raport cu intersecţii finite.

Demonstratia lemei I.1 este lasată cititorului. Ea constituie un agre¬abil (!) divertisment în teoria mulţimilor.

REMARCA 1. Nu trebuie inversată ordinea operaţiilor în construcţia lui F. Ar fi, de asemenea, natural să începem prin a considera de mulţimi şi apoi de a lua t. Familia astfel obţinuta este bineînţeles stabilă prin dar ea nu este stabilă prin r. Ar trebui în acest caz să se considere înca o data reuniuni arbitrare.