Topologie Non-Standard

1. Topologie generalǎ non-standard

Definiţia 1. Se numeşte spaţiu topologic o mulţime nevidǎ R0=R, de constante individuale numite puncte şi o mulţime de submulţimi ale lui R0 notatA cu , numite deschise ale spaţiului astfel încât:

(i) mulţimea vidǎ de constante individuale şi mulţimea tuturor punctelor lui R0 apartin lui

(ii) intersecţia oricǎror douǎ elemente ale lui sunt în

(iii) reuniunea oricǎrui numǎr finit (sau infinit) de elemente ale lui este în

Vom identifica un spatiu topologic dat cu o structurǎ completǎ T , care este bazatǎ pe mulţimea punctelor spaţiului R0 şi in care mulţimea mulţimilor deschise este o entitate ce satisface (i),(ii),(iii).

Fie *T o exrtensie arbitrarǎ, dar fixatǎ a lui T si fie *R mulţimea constantelor individuale ale lui *T care deasemenea vor fi numite puncte şi unde R=R0 *R. In consecinţǎ cu convenţia generalǎ punctele lui R=R0 vor fi numite puncte standard. Mulţimea mulţimilor deschise in * T notatǎ cu * , este o mulţime standard. Elementele lui * sunt mulţimi interne in *T.

In extinderea in care ele pot fi formulate prin K0 proprietǎţile lui sunt (eventual cu o interpretare apropiatǎ) deasemenea in *

Astfel mulţimea vidǎ şi *R sunt conţinute in * iar intersecţia oricǎror douǎ elemente a lui * este in * Reuniunea unor submulţimi ale lui * este in * dacǎ submulţimile sunt interne (din cauza lui (iii)).

Fie p un punct standard si p mulţimea tuturor mulţimilor deschise care-l conţin pe p şi definim monada lui p prin (p) = , adicǎ intersecţia tuturor mulţimilor standard din *T care sunt vecinǎtǎţi deschise ale lui p Evident p (p) si (p) poate fi o mulţime externǎ.

Fie B= {Bv} o bazǎ pentru topologia T Atunci (p)=

Observaţia 1. Dacǎ p este un punct standard arbitrar, atunci existǎ o mulţime deschisǎ internǎ V din *T astfel ca p V (p)

Observaţia 2. Fie p, q douǎ puncte standard astfel încât q (p). Atunci (q) (p).

Teorema l [25] O mulţime de puncte S din T este deschisǎ dacǎ si numai dacǎ pentru orice p S avem (p) *S.

Teorema 2. [56] 0 mulţime de puncte S din T este inchisǎ dacǎ şi numai dacǎ pentru orice p S , p standard avem (p) *S=

Teorema 3. Un punct p aparţine frontierei unei mulţimi S dacǎ şi numai dacǎ (p) (*S *(R-S )) (*(R-S )=*R-*S).

Teorema 4. [25] T este un spaţiu Haussdorff dacǎ şi numai dacǎ pentru orice p,q T distincte avem ( p) (q)=

Demonstraţie. Fie T Haussdorff => p,q distincte cu vecinǎtǎţi distincte U şi V deschise, adicǎ U V= *U *V= şi cum ( p) *U, (q) *V ( p) (q)=

Reciproc ( p) (q)= U,V deschise interne în *T a.î. p U, q U,

U V= (conf. T.1.). Dar propoziţia este adevǎratǎ şi în *T cu o schimbare apropiatǎ.

Observaţia 3. Teorema aratǎ cǎ pentru un spatiu Haussdorff un punct p în *T este în monada nu mai mult decât a unui punct standard q. Scriem q = °p şi-l numim q partea standard a lui p.

Teorema 5. [25] T este un spatiu T0 dacǎ si numai dacǎ pentru orice p,q T sau p (q) sau q (p)

Teorema 6. [25] Un spaţiu topologic T este complet dacǎ şi numai dacǎ toate punctele lui *T sunt aproape standard (un hiperreal "b" este aproape standard dacǎ existǎ a R=*R R a.î. b (p)).

Corolarul 1. O mulţime de puncte B din spaţiul topoplogic T este compactǎ dacǎ şi numai dacǎ pentru orice p *B existǎ un punct standard q B astfel încât p (q).

2. Spaţiul metric non-standard

Fie T un spaţiu metric definit de funcţia distanţǎ (p,q) pe R mulţimea numerelor reale. Trecând la o extensie *R a lui R, se poate dezvolta teoria non-standard a spaţiului metric.

Topologia lui T este definitǎ prin mulţimea tuturor bilelor deschise B={p/ (p,q)<r} pentru orice punct q R ca spaţiu topologic şi un numǎr real pozitiv r *R+.

Pentru orice punct p *R definim monada lui p (p)={p/ (p,q) M1. Monadele distincte sunt disjuncte. Monada definitǎ în acest paragraf coincide cu monada definitǎ în paragraful precedent, aşa cǎ scriem p q dacǎ (p, q) 0 adicǎ q (p).

Un punct p *R ca spaţiu metric va fi numit finit dacǎ şi numai dacǎ existǎ un punct standard q a.î. (p,q) M0 Astfel orice punct aproape standard este finit şi posedǎ o unicǎ parte standard.

Teorema 7. [25] Un spaţiu metric T R este mǎginit dacǎ si numai dacǎ toate punctele lui *T sunt finite.

Teorema 8. [56] Un spaţiu metric compact este mǎrginit.