Topologie Non-Standard

Extras din referat Cum descarc?

1. Topologie generala non-standard
Definitia 1. Se numeste spatiu topologic o multime nevida R0=R, de constante individuale numite puncte si o multime de submultimi ale lui R0 notatA cu , numite deschise ale spatiului astfel incat:
(i) multimea vida de constante individuale si multimea tuturor punctelor lui R0 apartin lui 
(ii) intersectia oricaror doua elemente ale lui sunt in 
(iii) reuniunea oricarui numar finit (sau infinit) de elemente ale lui este in 
Vom identifica un spatiu topologic dat cu o structura completa T , care este bazata pe multimea punctelor spatiului R0 si in care multimea multimilor deschise este o entitate ce satisface (i),(ii),(iii).
Fie *T o exrtensie arbitrara, dar fixata a lui T si fie *R multimea constantelor individuale ale lui *T care deasemenea vor fi numite puncte si unde R=R0 *R. In consecinta cu conventia generala punctele lui R=R0 vor fi numite puncte standard. Multimea multimilor deschise in * T notata cu * , este o multime standard. Elementele lui * sunt multimi interne in *T.
In extinderea in care ele pot fi formulate prin K0 proprietatile lui sunt (eventual cu o interpretare apropiata) deasemenea in * 
Astfel multimea vida si *R sunt continute in * iar intersectia oricaror doua elemente a lui * este in * Reuniunea unor submultimi ale lui * este in * daca submultimile sunt interne (din cauza lui (iii)).
Fie p un punct standard si p multimea tuturor multimilor deschise care-l contin pe p si definim monada lui p prin (p) = , adica intersectia tuturor multimilor standard din *T care sunt vecinatati deschise ale lui p Evident p (p) si (p) poate fi o multime externa.
Fie B= {Bv} o baza pentru topologia T Atunci (p)= 
Observatia 1. Daca p este un punct standard arbitrar, atunci exista o multime deschisa interna V din *T astfel ca p V (p)
Observatia 2. Fie p, q doua puncte standard astfel incat q (p). Atunci (q) (p). 
Teorema l [25] O multime de puncte S din T este deschisa daca si numai daca pentru orice p S avem (p) *S.
Teorema 2. [56] 0 multime de puncte S din T este inchisa daca si numai daca pentru orice p S , p standard avem (p) *S= 
Teorema 3. Un punct p apartine frontierei unei multimi S daca si numai daca (p) (*S *(R-S )) (*(R-S )=*R-*S).
Teorema 4. [25] T este un spatiu Haussdorff daca si numai daca pentru orice p,q T distincte avem ( p) (q)= 
Demonstratie. Fie T Haussdorff => p,q distincte cu vecinatati distincte U si V deschise, adica U V= *U *V= si cum ( p) *U, (q) *V ( p) (q)= 
Reciproc ( p) (q)= U,V deschise interne in *T a.i. p U, q U,
U V= (conf. T.1.). Dar propozitia este adevarata si in *T cu o schimbare apropiata.
Observatia 3. Teorema arata ca pentru un spatiu Haussdorff un punct p in *T este in monada nu mai mult decat a unui punct standard q. Scriem q = ?p si-l numim q partea standard a lui p.
Teorema 5. [25] T este un spatiu T0 daca si numai daca pentru orice p,q T sau p (q) sau q (p) 
Teorema 6. [25] Un spatiu topologic T este complet daca si numai daca toate punctele lui *T sunt aproape standard (un hiperreal "b" este aproape standard daca exista a R=*R R a.i. b (p)).
Corolarul 1. O multime de puncte B din spatiul topoplogic T este compacta daca si numai daca pentru orice p *B exista un punct standard q B astfel incat p (q).
2. Spatiul metric non-standard
Fie T un spatiu metric definit de functia distanta (p,q) pe R multimea numerelor reale. Trecand la o extensie *R a lui R, se poate dezvolta teoria non-standard a spatiului metric.
Topologia lui T este definita prin multimea tuturor bilelor deschise B={p/ (p,q)<r} pentru orice punct q R ca spatiu topologic si un numar real pozitiv r *R+.
Pentru orice punct p *R definim monada lui p (p)={p/ (p,q) M1. Monadele distincte sunt disjuncte. Monada definita in acest paragraf coincide cu monada definita in paragraful precedent, asa ca scriem p q daca (p, q) 0 adica q (p).
Un punct p *R ca spatiu metric va fi numit finit daca si numai daca exista un punct standard q a.i. (p,q) M0 Astfel orice punct aproape standard este finit si poseda o unica parte standard.
Teorema 7. [25] Un spatiu metric T R este maginit daca si numai daca toate punctele lui *T sunt finite.
Teorema 8. [56] Un spatiu metric compact este marginit.


Fisiere in arhiva (1):

  • Topologie Non-Standard.doc

Imagini din acest referat Cum descarc?

Promoție: 1+1 gratis

După plată vei primi prin email un cod de download pentru a descărca gratis oricare alt referat de pe site (vezi detalii).


Descarcă aceast referat cu doar 4 € (1+1 gratis)

Simplu și rapid în doar 2 pași: completezi adresa de email și plătești. După descărcarea primului referat vei primi prin email un cod promo pentru a descărca orice alt referat.

1. Numele, Prenumele si adresa de email:

ex. Andrei, Oana
ex. Popescu, Ionescu

Pe adresa de email specificată vei primi link-ul de descărcare și codul promo. Asigură-te că adresa este corectă și că poate primi e-mail-uri.

2. Alege modalitatea de plată preferată:


* La pretul afișat se adaugă 19% TVA.


Hopa sus!