Teoria Fractalilor

1 Metrica Hausdorff-Pompeiu

Fie (X, d) un spat¸iu metric. Vom nota cu P(X) clasa tuturor pˇart¸ilor lui X, iar cu P(X)

familia submult¸imilor nevide ¸si mˇarginite ale lui X.

In cazul particular cˆand (X, d) este spat¸iu metric compact, P(X) va reprezenta clasa

tuturor pˇart¸ilor nevide ale lui X.

Dacˇa x 2 X,A 2 P(X), definim distant¸a dintre x ¸si A prin

d(x,A) = inf d(x, a) : a 2 A

¸si de asemenea, definim bila deschisˇa (rspectiv ˆınchisˇa ) de razˇa " > 0 ¸si de centru A, prin

B(A, ") = x 2 X : d(x,A) < ",

(respectiv

B[A, "] = x 2 X : d(x,A) < ").

Dacˇa A,B 2 P(X), vom nota

(1) D(A,B) = sup

x2A

d(x,B) = sup

x2A

inf

y2B

d(x, y).

Observat¸ie 1.1. Dacˇa A, B sunt mult¸imi compacte nevide, atunci existˇa a 2 A, b 2 B

a.ˆı.

d(a,B) = d(a, b), d(A,B) = d(a, b).

Propozit¸ia 1.2. Funct¸ia d definitˇa ˆın relat¸ia (1) are proprietˇat¸ile:

a) d(A,B) = inf{" > 0 : 8x 2 A, 9y 2 Ba.ˆı. d(x, y) < "};

b) A  B ) d(A,B) = 0;

c) d(A,B) = d(A,B);

d) d(A,B) = 0 ) A  B;

e) d(A,C)  d(A,B) + d(B,C), unde A,B,C 2 P.

Demonstrat¸ie: a) Notˇam  = inf{" > 0 8x 2 A, 9 y 2 B a.ˆı. d(x, y) < "} ¸si vom arˇata cˇa

d(A,B) = .

Fie " > 0 a.ˆı. 8 x 2 A, 9 y 2 B cu d(x, y) < ".

Atunci d(x,B) < ", 8 x 2 A, deci d(A,B) = supx2A d(x,A) < ".

A¸sadar d(A,B)  .

Apoi, dacˇa x 2 A, atunci, din relat¸ia (1), d(x,B)  d(A,B). Ca urmare, pentru orice

x 2 A, existˇa y 2 B astfel ca d(x, y) = d(A,B). Deci aici rezultˇa   d(A,B).

b) Dacˇa x 2 A, atunci y = x 2 B astfel ˆıncˆat d(x, y) = 0.

A¸sadar d(A,B) = 0.

c) Egalitatea rezultˇa din relat¸iile evidente

d(A,B) = sup

x2A

inf

y2B

d(x, y) = sup

x2A

inf

y2B

d(A,B) = d(A,B).

d) Presupunem d(A,B) = 0 ¸si fie x 2 A. T¸ inˆand seama de (1), deducem cˇa, pentru orice

n 2 N, existˇa yn 2 B astfel ˆıncˆat d(x, yn)  1

n.

Rezultˇa yn ! x ) x 2 B.

e) Avem succesiv

inf

x2C

d(x, z)  d(x, y) + inf

x2C

d(y, z), 8x 2 A, y 2 B,

inf

x2C

d(x, z)  inf

y2B

d(x, y) + inf

x2C

d(y, z), 8x 2 A, y 2 B,

sup

x2A

inf

x2C

d(x, z)  sup

x2A

inf

y2B

d(x, y) + sup

y2B

inf

x2C

d(y, z),

de unde rezultˇa egalitatea.

Din propozit¸ia precedentˇa deducem imediat:

Propozit¸ia 1.3. Aplicat¸ia  definitˇa pe P × P prin

(2) (A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}

satisface axiomele semimetricii.

Definit¸ie. 1.4. Aplicat¸ia  introdusˇa ˆın propozit¸ia anterioarˇa se nume¸ste semimetrica

Hausdorff- Pompeiu.

Unele proprietˇat¸ii ale semimetricii Hausdorff-Pompeiu sunt prezentate ˆın:

Teoremˇa. 1.5. Fie A,B 2 P. Avem:

a)dacˇa " > 0, atunci (A,B) < " , A  B[B, "]¸si B  B[A, "];

b)(A,B) = inf{r > 0 : A  B(B, r), B  B(A, r)};

c)(A,B) = (A,B);

d)(A,B) = 0 , A = B;

e)dacˇa ! : X ! Xeste o funct¸ie lipschitzianˇa, atunci (!(A), !(B))  Lip (!) · (A,B).