Teoria Fractalilor

Extras din referat Cum descarc?

1 Metrica Hausdorff-Pompeiu
Fie (X, d) un spat,iu metric. Vom nota cu P(X) clasa tuturor p?art,ilor lui X, iar cu P(X)
familia submult,imilor nevide ,si m?arginite ale lui X.
In cazul particular c^and (X, d) este spat,iu metric compact, P(X) va reprezenta clasa
tuturor p?art,ilor nevide ale lui X.
Dac?a x 2 X,A 2 P(X), definim distant,a dintre x ,si A prin
d(x,A) = inf d(x, a) : a 2 A
,si de asemenea, definim bila deschis?a (rspectiv ^inchis?a ) de raz?a " > 0 ,si de centru A, prin
B(A, ") = x 2 X : d(x,A) < ",
(respectiv
B[A, "] = x 2 X : d(x,A) < ").
Dac?a A,B 2 P(X), vom nota
(1) D(A,B) = sup
x2A
d(x,B) = sup
x2A
inf
y2B
d(x, y).
Observat,ie 1.1. Dac?a A, B sunt mult,imi compacte nevide, atunci exist?a a 2 A, b 2 B
a.^i.
d(a,B) = d(a, b), d(A,B) = d(a, b).
Propozit,ia 1.2. Funct,ia d definit?a ^in relat,ia (1) are propriet?at,ile:
a) d(A,B) = inf{" > 0 : 8x 2 A, 9y 2 Ba.^i. d(x, y) < "};
b) A  B ) d(A,B) = 0;
c) d(A,B) = d(A,B);
d) d(A,B) = 0 ) A  B;
e) d(A,C)  d(A,B) + d(B,C), unde A,B,C 2 P.
Demonstrat,ie: a) Not?am  = inf{" > 0 8x 2 A, 9 y 2 B a.^i. d(x, y) < "} ,si vom ar?ata c?a
d(A,B) = .
Fie " > 0 a.^i. 8 x 2 A, 9 y 2 B cu d(x, y) < ".
Atunci d(x,B) < ", 8 x 2 A, deci d(A,B) = supx2A d(x,A) < ".
A,sadar d(A,B)  .
Apoi, dac?a x 2 A, atunci, din relat,ia (1), d(x,B)  d(A,B). Ca urmare, pentru orice
x 2 A, exist?a y 2 B astfel ca d(x, y) = d(A,B). Deci aici rezult?a   d(A,B).
b) Dac?a x 2 A, atunci y = x 2 B astfel ^inc^at d(x, y) = 0.
A,sadar d(A,B) = 0.
c) Egalitatea rezult?a din relat,iile evidente
d(A,B) = sup
x2A
inf
y2B
d(x, y) = sup
x2A
inf
y2B
d(A,B) = d(A,B).
d) Presupunem d(A,B) = 0 ,si fie x 2 A. T, in^and seama de (1), deducem c?a, pentru orice
n 2 N, exist?a yn 2 B astfel ^inc^at d(x, yn)  1
n.
Rezult?a yn ! x ) x 2 B.
e) Avem succesiv
inf
x2C
d(x, z)  d(x, y) + inf
x2C
d(y, z), 8x 2 A, y 2 B,
inf
x2C
d(x, z)  inf
y2B
d(x, y) + inf
x2C
d(y, z), 8x 2 A, y 2 B,
sup
x2A
inf
x2C
d(x, z)  sup
x2A
inf
y2B
d(x, y) + sup
y2B
inf
x2C
d(y, z),
de unde rezult?a egalitatea.
Din propozit,ia precedent?a deducem imediat:
Propozit,ia 1.3. Aplicat,ia  definit?a pe P x P prin
(2) (A,B) = max{d(A,B), d(B,A)}
satisface axiomele semimetricii.
Definit,ie. 1.4. Aplicat,ia  introdus?a ^in propozit,ia anterioar?a se nume,ste semimetrica
Hausdorff- Pompeiu.
Unele propriet?at,ii ale semimetricii Hausdorff-Pompeiu sunt prezentate ^in:
Teorem?a. 1.5. Fie A,B 2 P. Avem:
a)dac?a " > 0, atunci (A,B) < " , A  B[B, "],si B  B[A, "];
b)(A,B) = inf{r > 0 : A  B(B, r), B  B(A, r)};
c)(A,B) = (A,B);
d)(A,B) = 0 , A = B;
e)dac?a ! : X ! Xeste o funct,ie lipschitzian?a, atunci (!(A), !(B))  Lip (!) . (A,B).


Fisiere in arhiva (1):

  • Teoria Fractalilor.pdf

Imagini din acest proiect Cum descarc?

Promoție: 1+1 gratis

După plată vei primi prin email un cod de download pentru a descărca gratis oricare alt referat de pe site.Vezi detalii.


Descarcă aceast referat cu doar 4 € (1+1 gratis)

Simplu și rapid în doar 2 pași: completezi adresa de email și plătești. După descărcarea primului referat vei primi prin email un alt cod pentru a descărca orice alt referat.

1. Numele, Prenumele si adresa de email:

Pe adresa de email specificata vei primi link-ul de descarcare, nr. comenzii si factura (la plata cu cardul). Daca nu gasesti email-ul, verifica si directoarele spam, junk sau toate mesajele.

2. Alege modalitatea de plata preferata:


* La pretul afisat se adauga 19% TVA, platibil in momentul achitarii abonamentului / incarcarii cartelei.

Hopa sus!