Teorema lui Ceva

Fie ABC un triunghi si punctele M AB, N BC si P AC astfel incat MA = MB, NB = NC, PC = PA. Atunci dreptele AN, BP, CM sunt concurente daca si numai daca ? = ?. Fie P un punct in planul triunghiului ABC si DC, EC, F?

astfel incat cevienele AD, BE, CF sa fie concurente in P. Sa se arate ca daca dreptele EF, DE, DF intersecteaza dreptele BC, AB, AC in punctele M, N, Q atunci punctele M, N, Q sunt coliniare.

? Solutie: Din teorema lui Ceva in triunghiul ABC se obtine BD: DC EC: AE AF: FB = 1. Aplicam teorema lui Menelau in triunghiul ABC cu transversalele EF, DE, DF. Rezulta ca MB: MC CE: AE AF: FB = 1, NA: NB BD: DC CE: EA = 1, QA: QC CD: DB FB: FA = 1. Din aceste relatii obtinem: MB: MC NA: NB QC: QA = AE: CE FB: AF DC: BD AE: CE CD: DB FB: FA = (DC: DB AE: CE FB: FA) ? = 1. Din reciproca teoremei lui Menelau rezulta ca punctele M, N, Q sunt coliniare.

Dreapta QMN se numeste polara triliniara a punctului P in raport cu triunghiul ABC. ...