Extras din referat
Teorema (Fubini). Fie , , , f marginita si integrabila Riemann pe . Atunci
i) functiile
sunt integrabile Riemann pe A;
ii) ;
iii) exista M o multime neglijabila Lebesgue astfel încît .
Demonstratie. a) Vom demonstra ca integrala Darboux superioara a lui coincide cu integrala Darboux inferioara a lui
Fie , . Atunci . Avem
Analog se arata ca . Deoarece f este integrabila Riemann pe , pentru orice µ > 0, exista partitii Jordan , astfel încît . De aici rezulta ca
b) Din ultima egalitate de la a) se obtine ca
ceea ce, împreuna cu mai sus mentionata egalitate, încheie practic demonstratia punctelor i) si ii).
c) Punctul iii) rezulta din ii).
Observatie. Atît în enuntul teoremei de mai sus, cît si în enuntul corolarelor ei de mai jos, rolurile variabilelor x si y pot fi schimbate între ele.
Corolar 1. Fie A, B, f ca în ipoteza Teoremei Fubini. Presupunem în plus ca , cu alte cuvinte ca functia
este integrabila Riemann pe B pentru orice x din A. Atunci
Integrala din membrul drept al egalitatii de mai sus se numeste integrala iterata.
Corolar 2. Fie , , , f uniform continua pe . Atunci
Corolar 3. Fie , continua. Atunci
Corolar 4. Fie , continua.
Presupunem în plus f de forma Atunci
Corolar 5. Fie doua functii de clasa C1 cu proprietatea ca . Fie
si fie continua. Atunci M este masurabila Jordan si
Demonstratie
Functiile Æ si È fiind functii continue definite pe o multime compacta, sunt marginite. Fie . Fie , daca , daca . Atunci este integrabila pe M si pe , deci este integrabila pe . De asemenea
Preview document
Conținut arhivă zip
- Teorema Fubini.doc