Serii Fourier

Functiile periodice constituie una din clasele de functii care datorita proprietatilor lor intervin in diverse probleme teoretice si practice.Un exemplu de reprezentari si studiu al acestor functii il constituie dezvoltarea in serie Fourier.In mai multe cazuri dezvoltarea unei functii in serie Fourier este mai convenabila decat dezvoltarea in serie Taylor.Aceasta evident si din considerente ca pentru dezvoltarea in serie Taylor a unei functii se cere ca functia sa fie indefinit derivabila lucru care nu se cere in cazul seriilor Fourier.Pe de alta parte termenii unei serii Fourier sunt functii periodice cu care putem descrie fenomenele oscilatorii. O alta calitte a seriilor Fourier este si aceea ca termenii sai au proprietatea de ortogonalitate . Intre dificultatile ce se intalnesc in studiul seriilor Fourier este aceea ca seria Fourier asociata unei functii periodice nu converge intotdeauna catre functia periodica respectiva.

Definitie.Coeficienti Fourier.

Definitia 1

Se numeste serie trigonometrica, o serie de forma:

akcoskx+bksinkx] (II 1)

unde a0,ak,bk sunt numere reale, independente de valorile variabilei x.

Fie f(x) o functie integrabila de perioada 2?.Sa presupunem ca:

1?. functia f(x) poate fi reprezentata printr-o serie trigonometrica

f(x)= akcoskx+bksin kx] (II 2)

2?. seria (II-2) poate fi integrata termen cu termen dupa inmultirea ei cu

cos?n?x si sinx, atunci, deoarece:

(II 3)

si (II 4)

avem:

Deasemeni, deoarece (II 5)

rezulta (II 6)

Analog

Dar conform relatiilor (II 3), (II 4), (II 5), avem:

, .

deci: (II 6`)

De asemenea, inmultind dezvoltarea(II-2) cu sin nx dx si integrand intre 0 si 2?, obtinem analog (II 7)

Definitia 2

Coeficientii a si b sau a si b se numesc coeficienti Fourier, iar dezvoltarea (II-2) serie Fourier