Ridicarea la Putere a Unei Matrici de Ordinul N

Extras din referat Cum descarc?

1. Forma diagonala 
Deoarece matricea oricarui endomorfism A : Vn -> Vn depinde de alegerea bazei in Vn, prezinta interes cazul cand se poate gasi o baza Vn fata de care matricea endomorfismului sa aiba o forma cat mai simpla.
Definitia 1. Un endomorfism A : Vn -> Vn se numeste diagonalizabil, daca exista o baza {e1, . . . , en} astfel incat matricea lui in aceasta baza sa fie diagonala.
Matricea din clasa de asemanare care ii corespunde endomorfismului A se numesc matrice diagonalizabile.
Teorema 1. Un endomorfism A : Vn -> Vn este diagonalizabil daca si numai daca exista o baza a spatiului Vn formata din vectorii proprii ai endomorfismului.
Demonstratie. Daca A este diagonalizabil, atunci exista o baza {e1, . . . , en} a spatiului fata de care matricea lui este diagonala:
A = 
Deci Aei= aiiei, i = 1,2,...,n, ceea ce inseamna ca vectorii ei, i = 1,2,..., n sunt vectori proprii ai endomorfismului A.
Reciproc, daca {v1, . . . , v n} este o baza in Vn, formata din vectorii proprii ai lui A , adica A?i= aiiv i, i = 1,2,..., n, atunci matricea lui A in aceasta baza este
D = 
Evident unele din numerele ?i pot fi egale.
Teorema 2. Dimensiunea unui subspatiu propriu al endomorfismului A : Vn -> Vn este cel mult egala cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare subspatiului.
Demonstratie Fie ?0 o valoare proprie multipla de ordinul m, si S(?0) subspatiul propriu corespunzator. Notam dim S(?0) = p < n. Fie {e1, . . . , en} S(?0) o baza in subspatiul propriu.
Completam aceasta baza pana la o baza in Vn de forma {e1, . . . , ep, fp+1,. . ., fn}. Intrucat vectorii ei, i = 1,..., p, sunt vectorii proprii corespunzatori la valoarea proprie ?0, avem 
A (ei) = ?0ei, i = 1,. . . , p si A (fi) = , j = p+1, . . . ,n. Matricea lui A in aceasta baza este
A = 
asa incat polinomul caracteristic al lui A are forma , unde este un determinant de ordinul .
In concluzie, = 0, implica p < m, iar != 0 implica p = m. Deci p <= m.
Teorema 3. Un endomorfism A : Vn -> Vn este diagonalizabil daca si numai daca polinomul caracteristic are toate radacinile in campul peste care este luat Vn si dimensiunea fiecarui subspatiu propriu este egala cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare.
Demonstratie. Admitem ca A : Vn -> Vn este diagonalizabil.
Rezulta ca exista o baza {e1, . . . , en} in Vn formata din vectori proprii pentru A fata de care matricea lui A este diagonala. Fie , adica , i =1,...,p sunt valori proprii ale lui A de multiplicitati cu . Fara a afecta generalitatea, putem admite ca primii vectori din baza {e1, . . . , en} corespund lui , urmatorii lui etc. In conclzie, vectorii { , . . . , } S(?1) apartin subspatiului propriu corespunzator valorii proprii ?1 ceea ce inseamna ca numarul lor este mai mic sau cel mult egal cu dim S(?1): <= dim S(?1). Pe de alta parte, conform teoremei 2, avem dimS(?1) <= . In concluzie dimS(?1) = . Analog rezulta dimS(?i) = , i = 1, 2, . . , p. Atunci fie B = { , .. , , , .. , . . , , .. , }, o multime e vectori din Vn asa incat primii sa constituie o baza in S(?1), urmatorii sa constituie o baza in S(?2) si asa mai departe. Utilizand inductia asupra lui p se dovedeste ca B este o baza a lui Vn . Fata de aceasta baza, matricea lui A : Vn -> Vn este:
adica o matrice diagonala.


Fisiere in arhiva (1):

  • Ridicarea la Putere a Unei Matrici de Ordinul N.doc

Imagini din acest proiect Cum descarc?

Promoție: 1+1 gratis

După plată vei primi prin email un cod de download pentru a descărca gratis oricare alt referat de pe site.Vezi detalii.


Descarcă aceast referat cu doar 4 € (1+1 gratis)

Simplu și rapid în doar 2 pași: completezi adresa de email și plătești. După descărcarea primului referat vei primi prin email un alt cod pentru a descărca orice alt referat.

1. Numele, Prenumele si adresa de email:

Pe adresa de email specificata vei primi link-ul de descarcare, nr. comenzii si factura (la plata cu cardul). Daca nu gasesti email-ul, verifica si directoarele spam, junk sau toate mesajele.

2. Alege modalitatea de plata preferata:


* La pretul afisat se adauga 19% TVA, platibil in momentul achitarii abonamentului / incarcarii cartelei.

Hopa sus!