Relația lui Van Aubel și aplicații

Am alcatuit acest material in urma cu 10 ani, prin toamna lui 1991 cu intentia de a-l trimite spre publicare Gazetei Matematice. In cele din urma, m-am razgandit nu consideram ca este suficient de bine facut pentru a-si gasi locul acolo. Il scot acum de la arhiva in speranta ca voi trezi interesul macar catorva persoane pasionate ca si mine de geometria clasica. Observatie. La vremea liceului (prin toamna lui 1985), dl. profesor Cristian Bosneag de la Liceul de Informatica ne-a predat relatia de care voi vorbi in cele ce urmeaza. In manualele de atunci, nu era cuprinsa nici macar ca exercitiu. In actualele manuale, nu are cum, programa de geometrie fiind supraincarcata cu vectori si geometrie analitica. Geometria clasica a fost izolata in clasele VI-VIII, cand elevii abia invata sa rezolve ecuatii de gradul I. Nu sunt impotriva geometriei analitice, dar cred ca 40 de ore in clasa a XI-a erau suficiente. Materialul de fata se vrea o pledoarie in favoarea geometriei clasice, prea usor aruncata la gunoi de dragul reinnoirii programelor scolare.

Relatia (1) poarta numele de relatia lui Van Aubel.

Sincer vorbind, nu am idee cine a fost Van Aubel.

O alta relatie descoperita de el este utila la calculul lungimii unei ceviene plecand din varful unghiului drept intr-un triunghi dreptunghic; aceasta din urma o puteti gasi in excelenta carte Surprize in matematica elementara publicata de dr. Viorel Gh. Voda in 1981 la Ed. Albatros. Sa revenim insa la relatia (1). Utilitatea ei apare imediat: cu ajutorul acestei relatii putem calcula direct raportul segmentelor determinate de punctul de intersectie a trei ceviene pe oricare dintre ele, fara a mai recurge la teoremele lui Menelaus sau Ceva. Relatia este de fapt un shortcut extrem de util la calculul rapoartelor sus-amintite. Problema rezolvata 1 (105/25 din [1]). Fie M si N doua puncte situate pe laturile (AB) si (AC) ale triunghiului ABC astfel incat: Figura 2. La problema rezolvata 1. Conform teoremei lui Ceva, putem scrie: Intra acum in scena starul serii: relatia lui Van Aubel.

Conform acesteia, putem scrie: Revenind la notatii, avem: Figura 3. La problema rezolvata 2. Se scriu acum relatiile lui Van Aubel: Relatiile (8) si (9) exprima chiar rezultatele cerute.

Problema rezolvata 3. (4/97 din [2]) In punctele A si B ale unui cerc, care nu sunt diametral opuse, se duc doua tangente la cerc, care se intalnesc in C.

Prin A se duce o paralela la BC, care taie cercul in D. Dreapta CD taie cercul in E, iar dreapta AE intersecteaza pe BC in F. Sa se demonstreze ca: b) Triunghiurile ACF si CEF sunt asemenea; Figura 4. La problema rezolvata 3. Solutie. Aceasta problema este se pare alcatuita de profesorul Octavian Sacter prin anii 50; a fost subiect de admitere la zeci de examene (mai putin punctul e), adaugat ceva mai recent; de altfel, acest punct face legatura cu tema materialului de fata). c) Scriem asemanarea triunghiurilor de la punctul ...