Regula lui Lhopital

Folosind derivatele se poate stabili o metoda generala care acopera multe din situatiile intalnite si face calculul limitelor mai simplu.

3. g (X) nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui X0 ( (X (VX0); f (x) 4. exista limita lim = ( g (x) f (x) In aceste conditii, exista limita lim = g (x) Demonstratie. Aplicand teorema lui Cauchy rezulta ca pentru orice x ( (a, b ( f (x) f (x) -f (x0) f (c) (V = cu c=cx situat intre x0 si x. Daca x (x0, atunci g (x) g (x) -g (x0) g (c) f (x) cx (x0 si, folosind ipoteza 4 rezulta ca (pentru x (x0. Trebuie g (x) observat ca nu este nevoie ca f si g sa fie derivabile si in punctulx0; subliniem de asemenea, includerea cazului cand (=+ (sau = (. f (x) O situatie des intalnita este urmatoarea. Se cere lim , stiind ca lim g (x) f (x) =0 lim g (x), fara ca functiile f si g sa fie ambele definite in punctul x0. Are loc analogul teoremei enuntate (pentru limite la stanga) si anume: Fie f, g: (a, x0 (R. Presupunem satisfacute urmatoarele conditii: 1. f si g derivabile pe (a, x0); 2. lim f (x) = lim g (x) =0; 3. g (x) si g (x) nu se anuleaza intr-o vecinatate V a lui x0, (x (V (a, x0)); f (x) 4. Exista lim = ( g (x) f (x) In aceste conditii, lim (exista si este egala cu (. g (x) Demonstratia este imediata, de indata ce remarcam ca functiile f1, g1: : (a, x0 (R, f1 (x) =f (x), daca x (a, x0 , f1 (x0) =0; g1 (x) =g (x), daca x (a, x0 (si g1 (x0) =0 sunt continue pe (a, x0 (ele sunt prelungirile prin continuitate in punctul x=x0 ale lui f, respectiv g) si ca se verifica conditiile regulii lui l Hospital. Desigur are loc o teorema similara, inlocuind intervalul (a, xo (cu intervalul (xo, b , pentru limite la dreapta.

b) Regula lui l Hospital ne permite sa tratam si alte cazuri exceptate de (f (x) pilda cazul (. Daca ne intereseaza lim (si daca f (x) , g (x) , atunci (1 g (x) ( f (x) g (x) 1 1 putem scrie (= (si atunci (0, (0, reducandu-neastfel la cazul g (x) 1 g (x) f (x) 0 f (x), studiat anterior.

0 c) Este interesant ca regula lui l Hospital se aplica nu numai pentru xo finit, dar si in cazul cand xo este aruncat la infinit. Are loc atunci: Fie f si g doua functii reale definite pe un interval (a, (), a>0. Presupunem ca: 1. f si g sunt derivabile pe (a, (); 2. lim f (x) = lim g (x) = l, unde l = 0, (sau - ; 3. g (x) (0pentru orice x suficient de mare (x (A, A (a); f (x) 4. Exista (= lim ; g (x) f (x) Atunci exista si limita lim , egala cu (. g (x) (un enunt similar are loc pentru x (- () 1 Demonstratie. Presupunem l = 0. Facem schimbarea de variabila x = (. 1 u Intervalul (a, () se transforma in (0, () in sensul ca, daca x (a, (), atunci 1 a 1 1 u (0, (si reciproc. Notam (u) = f (), (u) =g (); deoarece l=0, avem a u u 1 1 lim (u) = lim (u) = 0. Derivatele lor vor fi (u) = - (f (), 1 1 u u ( (u) = - (g (). Putem aplica functiilor (si (teorema 2 si rezulta: u u In calculul ...