Probleme de împărțire a unui număr în părți proporționale

Intr-un sir de rapoarte egale suma numaratorilor pe suma numitorilor ne da un raport egal cu fiecare din rapoartele date (avand aceeasi valoare) a1+a2+a3+ an Demonstratie: Notam cu p valoarea comuna a rapoartelor din sirul de mai sus, adica : Avem : a1=pb1, a2=pb2, . an=pbn. Insumand vom gasi: a1+a2+ +an= (a1+a2+. +an) *p, de unde a1+a2+ +an b1+b2+. +bn adica raportul intre suma numaratorilor si suma numitorilor are tot valoarea p ca si toate rapoattele din sir.

Daca avem sirul de rapoarte egale (1), spunem ca numerele a1, a2, .. an sunt proportionale, respectiv, cu numerele b1, b2, ... bn, sau ca lui a1 ii corespund b1*p lui a2 ii corespund b2*p, lui an ii corespund bn*p parti.

Exemplul 1-In sirul de rapoarte egale 10/4=30/12=5/2=70/28=p spunem ca numerele 10; 30; 5 si 70 sunt proportionale cu numerele 4; 12; 5 si 28 sau numarului 10 ii corespund 4*p parti, lui 30, ii corespund 12*p parti, lui 5 ii corespund 2*p parti si lui 70 ii corespund 28*p parti.

Exemplul 2-Sa se gaseasca toate numerele proportionale cu numerele 2 ; 7 ; 3 ; 5. Rezolvare -pentru aceasta le inmultim pe toate cu p si obti- nem numerele 2p, 7p, 3p, 5p dand lui p orice valoare dorim.

In anumite probleme formularea unei conditii suplimentare permite determinarea lui p in mod unic.

Exemplul 3-Sa se afle 4 numere proportionale cu numerele 2 ; 7 ; 3 si 5 stiind ca al treilea numar este 27. Rezolvare-Toate numerele proportionale cu 2; 7; 3 si 5 sunt de forma 2p ; 7p ; 3p ; 5p (cu p oarecare). Conditia suplimentara din enunt permite calcularea in mod unic a lui p 3p=27 p=27/3=9 Deci numerele cautate sunt: 2*9=18; 7*9=63; 27 si 5*9=45. Impartirea unui numar in parti invers proportionale cu mai multe numere date Definitie : Numerele a1 , a2, ... an sunt invers proportionale cu numerele date b1, b2, bn, daca ele sunt direct proportionale cu inversele numerelor date, adica: a1*b1=a2*b2= an*bn Exemplu: Numerele 3, 2 si 6 sunt invers proportionale cu numere le 8, 12 si 4 si se scrie : Regula. Impartirea unui numar in parti invers proportionale cu numere date revine la impartirea acelui numar in parti direct proportionale cu inversul numerelor date.

Problema 1. Sa se imparta numarul 206 in patru parti invers proportionale cu numerele : 3/2 ; 2 ; 10/3 ; 4. Inversele acestor numere sunt: 2/3; 1/2; 3/10; 1/4. Fie a, b, c, d numerele cautate, parti ale numarului 206. Scriem ca ele sunt direct proportionale cu numerele 2/3; 1/2; 10 si 1/4 aducand totodata aceste fractii la acelasi numitor.

a/40=b/30=c/18=d/15=p a+b+c+d=p (40+30+18+15) 206=p*103 p=2 Deci: a=40*2=80 b=30*2=60 c=18*2=36 d=15*2=30 ...