Probleme de extrem - aplicații ale derivatelor

1.Aplicatii ale derivatelor in fizica

1.1 Viteza în mişcarea rectilinie

Să considerăm un mobil M care se mişcă pe o dreaptă Ox (fig.1) şi să presupunem că se cunoaşte - în fiecare moment t – abscisa s a poziţiei mobilului. Acestă abscisă este funcţie (depinde) de timp, s(t). Viteza v(t0) pe care o are mobilul cînd trece pri punctul M0 , corespunzător momentului t0 , este următoarea limită :

v(t0) =

Dar, limita din membrul drept este derivata (t0) a funcţiei s(t) în punctul t0, deci

v(t0) = s(t0) =

Aşadar:

Viteza în mişcarea rectilinie este derivata spaţiului în raport cu timpul.

De aici rezultă în particular, că dacă mişcarea este uniformă, viteza este constantă.

Într-adevăr, în mişcarea uniformă legea de mişcare este:

s(t) = t + b deci v(t) = .

Exemple:

1) Dacă mobilul se mişcă pe axa Ox după legea s(t) = 2t – 3 , viteza sa este v(t) = s(t) = 2.

Viteza mobilului este constantă, fapt care se explică prin aceea că mişcarea este uniformă.

2) Dacă legea de mişcare pe axa Ox este s(t) = 3t4 – 2t + 1 , viteza sa este v(t) = 12t5 – 2

La momentul t = 0, mobilul are viteza v(0) = -2 ; la momentul t = 1 , viteza este v(t) = 10.

1.2 Acceleraţia în mişcarea rectilinie

a) Să considerăm un mobil în mişcare rectilinie. Să presupunem că viteza sa este

v(t) = 2t + 1

Viteza nu este constantă, deci mişcarea nu este uniformă. Ne interesează în aceste condiţii creşterea vitezei în unitatea de timp. Creşterea vitezei de la t = 0 la t = 1 este :

v(1) – v(0) = 3 – 1 = 2.

Creşterea vitezei de la t = 0 la t = 2 este:

v(2) – v(1) = 5 – 3 = 2.

În general, creşterea vitezei de la t = t0 la t0 = t0 + 1

v(t0 + 1) – v(t0) = 2(t0 + 1) + 1 – (2 t0 + 1) = 2.

Aşadar, în orice interval de timp de o secundă, viteza creşte cu

Dacă măsurăm creşterea vitezei v(t2) – v(t1) între două momente oarecare t1 şi t2, şi împărţim această creştere a vitezei la creşterea t2 - t1 a timpului de la t1 la t2 obţinem :

Aşadar, raportul dintre creşterea vitezei şi creşterea timpului este constant, sau – altfel spus – creşterea vitezei este proporţională cu creşterea timpului.

Dacă într-o mişcare, creşterea vitezei este proporţională cu creşterea timpului ( adică dacă v(t) = at + C ), raportul constant dintre creşterea vitezei şi creşterea timpului se numeşte acceleraţie. În acest caz se spune că mişcarea este uniform accelerată.

b) Să considerăm acum un alt mobil în mişcarea rectilinie şi să presupunem că viteza sa este

v(t) = t2.

Să calculăm şi în acest caz creşterile vitezei într-o secundă

v(1) – v(0) = 1,

v(2) – v(1) = 4 – 1 = 3,

v(3) – v(2) = 9 – 4 = 5.

Observăm că, în intervale de timp egale, creşterea vitezei nu este aceeaşi. În general, raportul

se modifică o dată cu t0 şi t1 Acest raport poate fi considerat ca o acceleraţie medie a mobilului în interval de timp de la t0 la t1, în sensul că un mobil în mişcare uniform accelerată cu acceleraţia a1 şi-ar modifica viteza în intervalul de timp de la t0 la t1, cu acelaşi număr de ca şi mobilul considerat.

Pentru intervalul de timp de la t0 la alt moment t2, acceleraţia medie este :

Ne dăm seama uşor că, cu cît intervalul de timp este mai mic, cu atît modificarea vitezei medii este mai mică. Sîntem astfel conduşi să considerăm limita acestui raport :