Modelul Matematic

In cazul unui fenomen (aleator) F vom realiza o modelare matematica a acestuia cu ajutorul urmatoarelor trei elemente: universul probelor W (- sau inca spatiul probelor, o multime finita), multimea tuturor evenimentelor legate de fenomenul aleator F (P (W)) si o functie P: P (W) 0,) care asociaza fiecarui eveniment A?

P (W) probabilitatea sa P (A). Definitie. Multime W a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile doua cate doua, care pot avea loc in cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeste universul probelor (sau spatiul probelor). Definitie. Daca A este un eveniment, atunci A (citim: non A) este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca se nu realizeaza A. Definitie. Fie A, B doua evenimente.

Se numeste reuniunea evenimentelor A, B evenimentul notat A E B (citim: A sau B) care se realizeaza cel putin unul din evenimentele A, B.

Intersectia Definitie. Fie A, B doua evenimente.

Se numeste intersectia evenimentelor A si B evenimentul notat A C B (citim: A si B) care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza simultan A si B.

Evenimente incompatibile Definitie. Doua evenimente A, B se numesc incompatibile daca si numai daca A C B = f.

Evenimente elementare Definitie. Fie W un univers finit W = {w1, w2,... wn}. Evenimentele {w1}, {w2}, {w-n} se numesc evenimente elementare. Functia probabilitate Dintre toate formulele propuse pentru definirea functiei probabilitate, cea folosita astazi este teoria dezvoltata de matematicianul rus Kolmogorov la inceputul deceniului al patrulea al secolului XX. El a apropiat conceptul de probabilitate de teoria masurii si analiza functionala. Kolgomorov a creat un fundament axiomatic pentru conceptul de probabilitate care se bazeaza pe o multime W de evenimente elementare si un sistem B I P (W). Evenimentele sistemului B, adica submultimile lui W se numesc evenimente (aleatoare). In plus B verifica posibilitatile: 1. daca A1, A2, ... An, ? B, atunci U Ai? B i?1 2. daca A?

B, atunci CA?

B; 3. W?

B Sistemul B care verifica cele trei axiome se numeste corp borelian. Cazul pe care il analizam noi este mai simplu, in sensul ca W este o multime finita, iar B = P (W). DEFINITIE. Fie W un univers. Aplicatia P: P (W) R se numeste probabilitate pe P (W) daca au loc axiomele: 1. P (A) ? 0, () A?

P (W) (Probabilitatea oricarui eveniment este un numar pozitiv). 2. P (W) =1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu unu) 3. P (A E B) = P (A) + P (B), daca A C B= f (Probabilitatea reuniunii a doua evenimente incompatibile este egala cu suma probabilitatilor lor). Observatii. 1) Daca universul W nu este finit, atunci nu se defineste probabilitatea pe un corp borelian B I P (W), axioma 3 fiind inlocuita cu P (A---1 E A2 E E An E) = P (A1) + P (A2) + + P (An) + Daca Ai C Aj = f, () i?j (orice doua evenimente sunt incompatibile). 2) Pe un corp borelian B I P (W) [0, ), P (A) = card (A) / card (B), aceasta fiind de fapt definitia ...