Modelul black-scholes. panta unei drepte de buget. panta unei drepte de izocost

Opțiunile au existat – cel puțin din punct de vedere conceptual – încă din antichitate. Dar abia o dată cu publicarea formulei Black – Scholes, în anul 1973, a aparut și un cadru teoretic consistent pentru evaluarea lor. Acesta a fost rezultatul cercetării făcute atât de Robert Merton cât și de Black și Scholes. În 1997, Scholes și Merton au primit Premiul Nobel pentru economie. Black murise în 1995, dar altfel ar fi împărțit premiul.

Teoria evaluării opțiunilor își are rădăcinile în descoperirile lui Bachelier (1900) care a folosit mișcarea Browniana pentru a modela opțiunile pe obligațiunile guvernamentale din Franța.

Descoperirea sa a anticipat cu cinci ani utilizarea independentă a mișcării browniene în fizică de către Einstein.

Interesul pentru cercetarea fenomenului a revenit în anii '60. Cele mai importante descoperiri din această perioadă i-au aparținut lui Samuelson (1965). El a studiat opțiunile cu o scadență îndelungată și a utilizat mișcarea browniană geometrică pentru a modela comportamentul prețului acțiunii aferente. Pe această bază acesta a modelat valoarea opțiunii la scadență ca pe o variabilă aleatoare. Modelul se bazează pe doi factori. Primul este rata așteptată a rentabilității titlului. Al doilea este rata la care prețul opțiunii trebuie actualizat. Acești doi factori depind atât de riscul acțiunii cât și de cel al opțiunii. Nici unul dintre acești factori nu era observabil pe piață. În funcție de preferința pentru risc, agenți diferiți ar putea lua în considerare valori diferite ale factorilor. În consecință, formula lui Samuelson avea o componenta arbitrară.

Nu oferea un mijloc prin care investitori cu grade diferite de aversiune față de risc să poată conveni asupra unui preț pentru o opțiune. Black și Scholes au rezolvat această problemă printr-o abordare complet diferită.

Presupunând că un investitor dorește să vândă o opțiune. El va face hedging dinamic până la expirarea opțiunii. Ce preț ar trebui să ceară pentru opțiune? Black și Scholes propun să ceară un preț egal cu costul hedgingului dinamic. Făcând unele simplificări, au descoperit că acest cost poate fi cunoscut prin calcul.

În practică, hedgingul dinamic este un proces incert. În funcție de titlul aferent și de strategia de hedging, poziția trebuie ajustată de câteva ori pe săptămână sau de câteva ori pe zi. Între ajustări consecutive pot avea loc evenimente neașteptate. Utilizând calculul stochastic și câteva simplificări, Black și Scholes au studiat cazul limită când frecvența schimbării poziției de hedging tinde spre infinit. În acest caz, costul hedgingului dinamic este independent de evoluția titlului aferent opțiunii. Acesta depinde doar de volatilitatea prețului. Dacă volatilitatea este constantă și cunoscută în avans, costul hedgingului dinamic este cert. Fiind cert, nu presupune risc, așa că poate fi actualizat cu rata de risc zero pentru a obține prețul opțiunii.

Presupunerile modelului sunt:

• Activul nu plătește dividende pe parcursul vieții opțiunii

• Opțiunea este de tip european

• Piețele sunt eficiente

• Nu se percep comisioane

• Rata de dobândă rămâne constantă

• Randamentele au o distribuție lognormală

Abordarea Black Scholes și generalizările sale recurg la ecuații diferențiale parțiale care pot avea soluții închise, ca în cazul formulei originale, sau în caz contrar trebuie rezolvate numeric prin metode cum ar fi metoda Monte Carlo.

Unde:

• c – este prețul unei opțiuni call

• p – prețul unei opțiuni put

• s – prețul curent al activului

• x – prețul de exercițiu al opțiunii

• σ – variația standard a prețului acțiunii (volatilitatea)

• t – numărul de perioade pana la expirarea opțiunii

• r – rata de dobândă fără risc, capitalizată continuu

• N( ) - distribuția normală cumulativă standard

Pentru a înțelege modelul, îl analizăm prin prisma celor două componente. Prima parte, , reprezintă beneficiul așteptat din cumpărarea activului. Acesta se calculează prin înmulțirea prețului acțiunii (s) cu variația prețului opțiunii în raport cu variația prețului acțiunii . Partea a doua reprezintă valoarea prezentă a prețului de exercițiu plătit la data expirării. Valoarea opțiunii call este calculată prin scăderea celor două valori.

Încă din 1973, modelul Black Scholes s-a bucurat de o popularitate extraordinară. Mulți cercetători au extins modelul. În 1973, Robert Merton a eliminat restricția privind lipsa dividendelor. În 1976, Jonathan Ingerson a mers un pas mai departe și a eliminat restricția privind lipsa taxelor sau a costurilor de tranzacționare. În 1976, Merton a extins modelul pentru rate de dobândă variabile. Rezultatele acestei popularități sunt modelele foarte precise de evaluare pe care le avem astăzi.