Matricea magică

Extras din referat Cum descarc?

PATRAT MAGIC - MATRICE MAGICA
In matematica, un patrat magic de ordinul n este o aranjare de n2 numere intr-un patrat, in asa fel incat toate numerele n din aceeasi coloana, rand sau diagonala sa dea adunate aceeasi constanta. Un patrat magic normal contine intregii de la 1 la n2.
Patrate magice exista pentru toate ordinele n >= 1 in afara de n = 2, desi cazul de ordine n = 1 este trivial - Consista dintr-o singura celula continand numarul 1. Cel mai mic caz nontrivial, aratat dedesubt, este de ordinul 3.
INTRODUCERE
Sa consideram succesiuna aritmerica 1, 2, 3, 4, 36 (patrat de ordinea 6) si sa dispunem numerele in doua randuri in zig-zag:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19
Aceasta rezulta in faptul ca orice pereche de numere aliniate vertical da aceeasi suma, stiind ca cu cat ne-am deplasat inainte in coloane, cu atat numerele de sus cresc cu o unitate, pe cand cele de jos scad. Suma in toate cazurile este aceea a extremelor:
n2 + 1 = 36 + 1 = 37
Daca aranjam ansamblul numerelor in sase randuri:
1 2 3 4 5 6
12 11 10 9 8 7
13 14 15 16 17 18
24 23 22 21 20 19
25 26 27 28 29 30
36 35 34 33 32 31
Cum se poate vedea, suma in diferitele coloane este necesar egala, fiind ca numerele sunt grupate in perechi ca si in primul caz (se pot compara perechile de randuri 1a-6a, 2a-5a si 3a-4a cu dispunerea originala). Acum oarecum, cele trei perechi de coloane fiind (n/2), suma va fi:
ceea ce se numeste constanta magica, care in cazul nostru este de nx(n2 + 1)/2 = 6x(36 + 1)/2 = 111.
Ordinea n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
M 2(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
Sare in ochi ca patratul precedent nu este un patrat magic, pentru ca aranjand numerele de maniera consecutiva, sumele cifrelor din fiecare rand cresc de fiecare data. Oricum am gasit sase serii de numere intre 1 si 36, a caror suma, fara sa se repete niciunul, este constanta magica. Daca in loc de dispunerea precedenta plasam numerele in ordine consecutiva, obtinem o dispunere in care numerele din diagonala principala pot fi scrise sub forma (a-1)xn + a.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
Calculand suma, stim ca randurile a merg de la 1 la n:
Orice serie de sase valori in care nu sunt doua din acelasi rand sau din aceeasi coloana se va aduna sa formeze constanta magica. Scriind termenul i, j al matricei ca (i-1)xn + j si luand sase termeni oarecare ci conditia ca nici i, nici j sa se repete, si sa varieze de la 1 la n, ecuatia rezultand este aceeasi ca si in cazul anterior si suma, in consecinta, constanta magica.
Cum se si poate demonstra, cantiatea de serii posibile de n numere care indeplinesc conditia anterioara este n !, 720 in patrate de ordinea 6, si nici chiar toate sunt posibile, fiind dat ca am obtinut sase care nu sunt incluse printre ele. Prin definitie, fiind posibil sa se construiasca (n2) ! matrice in care nici un termen sa nu se repete si in care sa existe cel putin n ! (de fapt mult mai multe) combinatii de numere care se aduna sa formeze constanta magica, se intelege intuitiv ca ce ar fi magic despre patrat este ca cu atatea posibilitati era imposibil sa construiasca un patrat magic.
De ordinea 3 exista doar un patrat magic (variatiile diferite se pot obtine prin rotatie sau oglindire), in 1693 Bernard Frenicle de Bessy a stabilit ca exista 880 patrate magice de ordinea 4 [1], posterior se gasisera 275.305.334 patrate magice de ordinea 5; numarul de patrate magice de o ordine mai mare este necunoscut, dar dupa estimatiile lui Klaus Pinn si ale lui C. Wieczerkowski realizate in 1998 cu ajutorul metodelor lui Monte Carlo si ale mecanicii statistice exista (1,7745 +- 0,0016) x 1019 patrate de ordinea 6 si (3,7982 +- 0,0004) x 1034 de ordinea 7.
In ceea ce priveste ordinele inferioare, este evident ca de ordinul unu exista numai un patrat magic, 1 , iar de ordinul 2 nu exista niciunul, ceea ce poate fi demonstrat in figura patratului magic a, b, c, d; pentru ca aceasta dispozitie sa fie un patrat magic ar fi trebuit sa se indeplineasca urmatoarele ecuatii (M fiind constanta magica sau orice alta cantitate, daca este dorita):
a b
c d
a + b = M 
a + c = M 
a + d = M 
b + c = M 
b + d = M 
c + d = M
scriind sistemul de ecuatii de maniera matriciala si cautand ordinul matricei de coeficienti, se obtine ca este trei, pe cand numarul de necunosute este patru, de asa fel incat sistemul sa aiba doar solutia triviala a = b = c = d = M/2, fiind imposibil sa se construiasca un patrat magic in care cele patru cifre sa fie distincte.


Fisiere in arhiva (1):

  • Matricea Magica.doc

Imagini din acest referat Cum descarc?

Promoție: 1+1 gratis

După plată vei primi prin email un cod de download pentru a descărca gratis oricare alt referat de pe site (vezi detalii).


Descarcă aceast referat cu doar 4 € (1+1 gratis)

Simplu și rapid în doar 2 pași: completezi adresa de email și plătești. După descărcarea primului referat vei primi prin email un cod promo pentru a descărca orice alt referat.

1. Numele, Prenumele si adresa de email:

ex. Andrei, Oana
ex. Popescu, Ionescu

Pe adresa de email specificată vei primi link-ul de descărcare și codul promo. Asigură-te că adresa este corectă și că poate primi e-mail-uri.

2. Alege modalitatea de plată preferată:


* La pretul afișat se adaugă 19% TVA.


Hopa sus!