1.1.1 Grupuri
Definit,ia 1.1 Fie X o mult,ime nevid?a. O funct,ie f definit?a pe X x X ,si cu valori ^?n X se
nume,ste lege de compozit,ie intern?a ^?n X.
Not?am, pentru ?(x, y) ? X2, f (x, y) = x o y ,si se cite,ste x compus cu y dup?a legea o.
Legile de compozit,ie interne pot avea urm?atoarele propriet?at,i:
Definit,ia 1.1 O lege de compozit,ie intern?a " o " ^?n X se nume,ste lege asociativ?a dac?a
?(x, y, z) ? X3 avem:
(x o y) o z = x o (y o z).
Definit,ia 1.2 O lege de compozit,ie intern?a "o" ^?n X se nume,ste lege cu element neutru
dac?a ?e ? X astfel ^?nc^at ?x ? X avem: x o e = e o x = x. Elementul e se nume,ste element
neutru a legii "o".
Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o mult,ime ,si " o " o lege de
compozit,ie intern?a ^?n X. Dac?a " o " admite un element neutru atunci acesta este unic.
Demonstrat,ie.
Presupunem prin absurd c?a legea " o " are dou?a elemente neutre e ,si e0, e 6= e0 deci
?x ? X : x o e = e o x = x, (1.1)
?x ? X : x o e0 = e0 o x = x. (1.2)
Pentru x = e0 ^?n (1.1) ,si x = e ^?n (1.2) obt,inem: e0 o e = e o e0 = e0 ,si e o e0 = e0 o e = e, de
unde rezult?a e = e0.?
1
2 CAPITOLUL 1. CALCUL MATRICEAL
Definit,ia 1.3 Dac?a o lege de compozit,ie intern?a " o " ^?n X admite un element neutru e
atunci spunem c?a unui element x ? X ^?i corespunde un element numit element simetric
^?n raport cu legea " o " dac?a exist?a x ? X astfel ^?nc^at
x o x = x o x = e. (1.3)
Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o mult,ime ,si " o " o lege
de compozit,ie intern?a ^?n X asociativ?a cu elementul neutru e. Dac?a un element x ? X are
un element simetric ^?n raport cu legea " o ", atunci acest element simetric este unic.
Demonstrat,ie.
Presupunem prin absurd c?a elementul x ? X are dou?a element simetrice x ,si x0, x
Documentul este oferit gratuit,
trebuie doar să te autentifici in contul tău.
