Logica de ordinul întâi

Este un sistem formal deductiv folosit de matematicieni,filozofi,oameni de stiinta din domeniul calculatoarelor.Are mai multe nume,incluzand ,,calcularea predicatului de ordin intai(FOPC)","calcularea predicatului redus","limbajul logicii de ordin intai",sau"predicat ul logic".Spre deosebire de limbajele naturale ca engleza,FOL foloseste un limbaj formal ambiguu interpretat de structurile matematice.FOL est un sistem de deductii extinzand logica propozitionala ,permitand cuantificarea peste caracteristicile a unui domeniu(univers)dat spre discutie.De exemplu,se poate porni in FOL :"Fiecare caracteristica are proprietatea P".

Definirea logicii de ordin intai

Calcularea predicatului cinsta in:

- reguli de formare(definitii recursive pentru formarea formulelor bine formulate)

- reguli de transformare(reguli de deductie pentru teoreme de derivare)

- axiome (posibil numarabil infinit)

Axiomele considerate sunt axiome logici care fac parte din clasicul FOL.Este important de notat fapti ca pot fi formalizate in foarte multe moduri echivalente.Nu exista nimic canonic in legatura cu aceste axiom si reguli de deductie date in acest articol.Sunt infinit de multe formalizari echivalente ,toate sustinand aceleasi teoreme si non-teoreme,si toate avand acelas drept pentru titlul de FOL.

FOL se foloseste ca un ,,bloc de constructie" de baza pentru multe teorii matematice.FOL ofera cateva reguli de constructie interne,ca axioma xP(x)? xP(x)(daca P(x) este adevarat pentru orice x,atunci P(x) este adevarat pentru orice x).In plus,axiomele non-logice sunt adaugate pentru a produce teorii specifice logicii de ordin intai bazate pe axiomele clasice FOL.Aceste teorii construite in OL sunt numite ,,teorii clasice de ordin intai".Un exemplu de teorie clasica de ordin intai este aritmetica lui Peano ,care adauga axiomei x Q(x,y) (pentru fiecare x exista y astfel incat y=x+1,unde Q(x,y)este interpretat ca"y=x+1").Aceasta axioma adaugata este o axioma nin-logica ;nu face parte din FOL,dar in loc este o axioma a teoriei(o axioma a aritmeticii,in locul uneia logice)

Axiomele de mai tarziu sunt numite de asemenea teorii de ordin intai.Axiomele teoriei de ordin intai nu sunt privite ce find adevarate din punct de vedere logic,dar mai degraba adevarate ca teorii particulare care de obicei s-au asociat cu o interpretare planuitade simbolurile non-logice.Astfel,axioma despre Q(x,y)este adevarata doar cu interpretarea relatiei Q(x,y) ca ,,y=x+1",si doar in teoria aritmeticii lui Peano.Clasicul FOL nu are asociat o interpretare planuita a vocabularului sau non-logic.

Teoria clasica a multimilor este un alt exemplu al teoriei de ordin intai

Reguli de formare

Regulile de formare definesc termenii,formulele si variabilele libere dupa cum urmeaza:

Termenii

Multimea de termeni este recursiv definita de urmatoarele reguli:

1. Orice constanta este un termen

2. Orice variabila este un termen

3. Orice expresie f(t1, ,tn)de n>=1 argumente(in care fiecare atgument ti este un termen,iar f este simbolul unei functii de valenta n)este un temen

4. Clausa de inchidere:Nimic altceva nu este un termen.De exemplu,predicatete nu sunt termeni

Formule