Grupuri Monoizi Izomorfisme

Formule: Subgrup Fie (G, () un grup.

O submultime nevida H a lui G se numeste subgrup a lui G daca sunt satisfacute urmatoarele conditii: 1. (x, y (H => x (y (H 2. (x (H =>x (H unde x este simetricul lui x (in raport cu operatia lui G) Teorema: Fie (G, un grup, e elementul neutru a lui G si H un subgrup al lui G.

Atunci: 1. e (H 2. H este grup in raport cu operatia indusa pe H de catre operatia grupului G.

Demonstratie: 1. H (G => (lege de compozitie interna pe H i. (x, y (H => x (y (H 2i. (x (H =>x (H =>x (x (H dar x (x =e =>e (H 2. (: H (H op. indusa H parte stabila a lui G (G, () un grup => (asociativa pe G => (asociativa pe H (e (H a.

i. x (e=e (x =x (x (H (x (H, (x (H a.

i. x (x =x (x =e =>H=Grup Exemple: 1. Fie (G, un grup, e elementul neutru si E={e}. Atunci E este subgrup al lui G, numit subgrup unitate.

Daca x, z (E =>x=y=e deci x (y=y (x=e (E x =e =e (E 2. Fie n>=0 un numar intreg si nZ multimea tuturor multiplilor lui n, nZ={nh | h (Z} Atunci nZ este subgrup al grupului (Z, +). Adevarat: daca x, y (nZ, (h, k (Z a.

i. x=nh, y=nk =>x+y=nh+nk=n (h+k) (nZ -x= - (nh) =n (-h) (nZ deci nZ este subgrup al lui (Z, +) Definitie Fie (G, un grup, a (G si n>0. Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G daca an =e si ah (e, h=1, 2 n-1 Izomorfisme Morfisme Exerciti 1) Rezolvare: Verificam axiomele grupului: 2) Pe Z se defineste legea de compozitie Rezolvare: 3) Aratati ce G este grup abelian Rezolvare: 4) Rezolvare: 5) Sunt bijective Rezolvare: 6) Rezolvare: 7) Rezolvare: 8) Rezolvare: 9) Rezolvare: Verificam axiomele grupului este asociativa 10) Rezolvare: Rezulta ca H este subgrup al grupului (R, +) ...