Forme pătratice

Reducerea la forma canonica.

"Vom considera functionale" biliniare simetice pe spatii vectoriale reale,A: V×V→ .

Definitia 1. Se numeste forma patratica asociata lui A , functia q:V→ , q(x)=A(x,x), ∀ x ∈ V; daca A este pozitiv definita (negativ definita), atunci forma patratica q se numeste pozitiv definita (negativ-definita), adica q(x)>0, ∀ x≠0; q(x)=0□(⇔┬ )x=0 (analog pentru negativ definita).

Observatie. Analog se defineste q:V→ ℂ, V- spatiu vectorial complex.

Fie 〖dim〗_ V=n si B={e_1,…, e_n}⊂V o baza fixata, iar A=(a_ij)∈"M" _n( ) matricea atasata functionalei biliniare simetrice A . Atunci, ∀ x ∈V, x=∑_(i=1)^n x_i e_i, q(x)= A(x,x)= A(∑_(i=1)^n 〖x_i e_i,∑_(j=1)^n 〖x_j e_j 〗〗)=∑_(i≥1) ∑_(j≥1) a_ij x_i x_j =∑_(i≥1) ∑_(j≥1) 〖a_ji x_i x_j 〗(intrucat a_ij=a_ji) sau sub forma matriceala,q(x)=(_^T)X∙A∙X.

Definitia 2. Matricea A=(a_ij)∈"M" _n( ) atasata functionalei biliniare simetrice. A se numeste matrice atasata formei patratice q.

Propozitia 1. Daca q:V→ are forma, q(x)= ∑_(i≥1) ∑_(j≥1) a_ij x_i x_j (a_ij=a_ji) in raport cu o baza fixata din V, atunci exista o unica functionala biliniara simetrica A: V×V→ asa incat q(x)= A(x,x), ∀ x ∈ V. Forma biliniara A se numeste polara formei patratice q.

Demonstratie. Pentru orice x, y ∈ V avem,

q(x+y)= ∑_(i≥1) ∑_(j≥1) a_ij (x_i+y_i)(x_j y_j).

Atunci 1/2 ⌊q(x+y)-q(x)-q(y)⌋=∑_(i≥1) ∑_(j≥1) a_ij x_i x_j= A (x,y).

Observatie.Mai general daca q(x)= A (x,x) cu q:V→ ,V un spatiu real avem,

q(x+y)= A(x+y,x+y)= A(x,x)+ A(x,y)+ A(y+x)+ A(y,y)=

=q(x)+2 A(x,y)+q(y), ∀ x,y ∈ V.

Exemplu. q(x)=x_1^2+x_2^2-4x_1 x_2 este o forma patratica pe ^2. Atunci polara ei este A(x,y)=x_1 x_2+y_1 y_2-2x_1 y_2-2x_2 y_1, ∀ x=(x_1,x_2) ∈ ^2 si ∀ y=(y_1,y_2) ∈ ^2.

Definitia 3. Se numeste forma canonica a unei forme patratice q:V→ , V-n dimensional, orice scriere a sa intr-o baza a lui V, de forma q(x)=∑_(i=1)^n 〖a_i x_i^2 〗 cu a_i ∈ si nu toate neaparat nenule.

Observatie.In aceasta baza matricea atasata este o matrice diagonala.

Teorema 1. (de reducere la forma canonica). Fie V un spatiu euclidian real, n- dimensional si q:V→ o forma patratica pe V. Atunci exista o baza ortonormata B’ ⊂V asa incat matricea asociata lui q sa fie diagonala, adica in care q are forma canonica.

Demonstratie. Fie A=(a_ij) ∈ "M" _n( ) matricea atasata formei in raport cu o baza ortonormala B={e_1,…, e_n}⊂V a spatiului care are proprietatea ca (_^T)A=A (e simetrica). Aceasta matrice defineste o aplicatie liniara f:V→V prin M_B^f=A. Cum (_^T)A=A si baza B este ortonormata rezulta ca f este un operator simetric si atunci conform teoremei exista o alta baza ortonormata B’={〖e'〗_1,…, 〖e'〗_n}⊂V a lui V a.i. M_B'^f=D, adica o matrice diagonala cu proprietatea D=C^(-1)∙A∙C, unde C- matricea de trecere. Cum 〖e'〗_j=∑_(i=1)^n 〖c_ij e_i 〗, j=¯(1,n ) atunci definim endomorfismul φ:V→V prin φ(e_j)=〖e'〗_j rezulta φ(e_j)=∑_(i=1)^n 〖e_ij e_i 〗, j=¯(1,n) ceea ce inseamna ca M_B^φ=C. Dar prin definitia φ(e_j)=〖e'〗_j, j=¯(1,n ) φ transforma o baza ortonormata tot intr-o baza ortonormata ceea ce inseamna (vezi definitia) ca φ e un operator ortogonal a.i. si matricea M_B^φ=C este ortogonala, adica (_^T)C=C^(-1). Fie atunci B=(b_ij) ∈ "M" _n( ) matricea atasata formei in baza B’.Atunci B=(_^T)C∙A∙C=C^(-1)∙A∙C=D, deci B este o matrice diagonala. Analog se trateaza cazul complex.In baza B’ avem q(x)=∑_(i=1)^n 〖λ_i 〖x'〗_i^2 〗, x=∑_i 〖〖x'〗_i 〖e'〗_i 〗.

Observatie. Din demonstrarea teoremei de diagonizale a operatorilor autoadjuncti □(⇒┴ ) baza B’ este compusa din versorii (vectori de lungime 1) proprii ai matricei A, iar elementele diagonale ale matricei D sunt tocmai valorile proprii (nu neaparat distincte) ale matricei A. Din acest motiv metoda de reducere la forma canonica continuta in aceasta teorema se numeste metoda valorilor si vectorilor proprii sau a transformarilor ortogonale.

Teorema 2. (metoda lui Gauss) Daca q:V→ , 〖dim〗_ V=n, e o forma patratica pe spatiul V, iar B={e_1,…, e_n} e o baza in V fata de care q(x)= ∑_(i=1)^n ∑_(j=1)^n a_ij x_i x_j a.i A=(a_ij≠0) (0- matricea nula) atunci ∃ o baza B’={〖e'〗_1,…, 〖e'〗_n} in V in care, q(x)=∑_(i=1)^n 〖a_i 〖x'〗_i^2 〗, unde x=∑_(i=1)^n 〖〖x'〗_i 〖e'〗_i 〗.

Demonstratie. Deoarece A≠0 ∃ cel putin un element a_ij≠0.

Admitem cazul cand a_ii≠0. Putem admite chiar a_11≠0, deoare in caz contrar renumerotam convenabil coordonatele x_i. Atunci grupam toti termenii care contin pe x_1 si adaugam sau scadem acei termini necesari pentru a obtine patratul formei liniare: x_1+a_12/a_11 x_2+⋯+a_1n/a_11 x_n. Deci,

q(x)=a_1 [x_1+a_12/a_11 x_2+⋯+a_1n/a_11 x_n ]^2+∑_(i=2)^n ∑_(j=2)^n 〖〖a'〗_ij x_i x_j 〗.

Construim baza B_1={f_1,…,f_n} cu ajutorul schimbarii de coordonate,

y_1=x_1+a_12/a_11 x_2+⋯+a_1n/a_11 x_n , y_2=x_2,…,〖 y〗_n=x_n, unde x=∑_(i=1)^n 〖y_i f_i 〗.

Matricea de trecere de la baza B la B_1 este: 〖 C〗_1^(-1)=( (1&a_12/a_11 &…&a_1n/a_11 @0&1&…&0@…&…&…&…@0&0&…&1)). In aceasta baza esxpresia lui q devine:

q(x)=a_11 y_1^2+∑_(i=2)^n ∑_(j=2)^n 〖〖a'〗_ij 〖y_i y_i=a_11 y〗_1^2+q_1 〗(x).

Continuand procedeul pentru q_1 (x), din aproape in aproape, dupa un numar finit de pasi, obtinem baza B’={〖e'〗_1,…, 〖e'〗_n}⊂V fata de care q sa aiba forma canonica din enuntul teoremei.

Daca toate elementele diagonale (diagonala principala) sunt nule, atunci exista cel putin un element nediagonal a_ij≠0 (cu i≠j). Ca si atunci ∃ cel putin un element nediagonal diferit de zero (eventual renumerotand) fie a_12≠0. Atunci construim baza B_2={g_1,…,g_n}⊂V a.i. daca x=∑_(i=1)^n 〖z_i g_i 〗 sa avem x_1=z_1+z_2,〖 x〗_2=z_1-z_2,〖 x〗_3=z_3,…,x_n=z_n in care matricea de trecere este

〖C'〗_1=( (1&1&0&…&0@1&1&0&…&0@0&0&1&…&0@…&…&…&…&…@0&0&0&…&1)).

In aceasta baza obtinem, q(x)=a_12 (z_1^2-z_2^2)+∑_(i=1)^n ∑_(j=1)^n 〖〖a'〗_ij z_i z_j 〗 in care matricea atasata are pe a_12 ca element diagonal ceea ce inseamna ca am ajuns la primul caz.