Ecuația De Gradul Al Doilea

O casa are baza in forma de dreptunghi, cu lungimea de 13m si latimea de 7, 5m. Proprietarul doreste sa-si construiasca o bordura de ciment, de aceeasi latime pe toate laturile casei (vezi desenul). Fondurile pe care le are il obliga la o suprafata construibila de 33m2. Pentru rezolvarea acestei probleme notam cu x, in metri, latimea bordurii si putem scrie urmatoarea ecuatie: Se observa ca aceasta ecuatie este diferita de tipul de ecuatii invatate anterior. Deoarece necunoscuta x apare si la puterea a doua, aceasta ecuatie spunem ca se numeste de gradul al II-lea. ax2 + bx + c = 0 (1) unde a, b, c sunt numere reale, cu a 0. Aceasta ecuatie se numeste de gradul al II-lea cu coeficienti reali.

Rezolvarea ecuatiei (1) presupune determinarea tuturor solutiilor (radacinilor) sale.

Existenta radacinilor reale precum si numarul lor depind de expresia b2 4ac (2) care se numeste discriminantul ecuatiei de gr. al II-lea si se noteaza cu (3) Putem avea si doua cazuri particulare de rezolvare a ecuatiei (1) si anume: a) Daca coeficientul b al lui x este nul atunci ecuatia devine: ax2 + c = 0 b) Daca termenul liber c este egal cu zero. atunci forma ecuatiei este: Rezolvarea este: Ecuatia de gradul al doilea, care are discriminantul 0, admite si doua forme particulare importante, si anume: 2. Forma redusa a ecuatiei de gradul al doilea. O ecuatie de gradul al doilea se numeste redusa daca coeficientul lui x2 = 1. Forma generala a ecuatiei reduse este: x2 + px + q = 0, unde p, q sunt numere reale.

Relatiile (4) poarta denumirea de Relatiile lui Viete. Cu aceste relatii se poate deci calcula suma si produsul radacinilor reale ale ecuatiei (1) fara a le afla efectiv.

s = x1 + x2, p = x1 (x2 (5) Aceste relatii ne permit sa formam o ecuatie de gr. al II-lea atunci cand cunoastem radacinile, astfel: x2 sx + p = 0 De utilitate practica mai este si studiul semnelor radacinilor unei ecuatii de gr al II-lea, mai ales cand aceasta este cu parametru. Acest lucru se poate face studiind semnul discriminantului, sumei si produsului radacinilor din relatia (2), respectiv din relatiile lui Viete (4). Se poate construi urmatorul tabel: Observatii: 1. Fie s = 0. Ecuatia are radacini reale numai daca p (0. In acest caz avem x1 +x2 = 0 adica x1 = -x2. 2. Fie p = 0. Atunci x1 = 0 si x2 = s.

Aplicatii Sa rezolvam ecuatia problemei din introducerea lucrarii: 4x2 + 41x 33 = 0 aceasta solutie nu este acceptabila din punctul de vedere al problemei pentru ca este negativa. Deci bordura casei va avea latimea maxima de 0, 75m. 2. Sa se studieze natura radacinilor ecuatiei mx2 + (m 1) x (m 2) = 0 in functie de parametrul real m. Vom calcula si vom studia, mai intai, semnul pentru (, s, si p.

...