Rezolvarea Numerică A Sistemelor De Ecuații Algebrice Liniare

Bibliografie. 11 1) Consideratii teoretice Tematica proiectului este rezolvarea numerica a sistemelor de ecuatii liniare.

Multe probleme din domeniul tehnicii, in general, si din cel al energeticii, in particular, conduc la modele matematice care implica solutionarea unor sisteme de ecuatii liniare de dimensiuni mari: abordarea numerica a functionarii masinilor electrice, hidraulice sau termice, modelarea numerica a functionarii aparatelor si echipamentelor electrice. De altfel, pentru orice problema se poate elabora, in prima instanta, un model liniar sau, daca modelul este neliniar, el poate fi liniarizat in prima aproximatie, o singura data sau la fiecare pas al unui proces iterativ de solutionare.

Un sistem de n ecuatii liniare, avand coeficientii ai, j reali, cu i, j =1. n, si termenii liberi bi reali, cu i=1. n, cu n necunoscute xi este de forma: ai, j*xj=bi. Forma matriceala a sistemului liniar este: A*x=b. Dupa natura vectorului b se disting urmatoarele tipuri de sisteme de ecuatii liniare: sisteme neomogene, la care b=0 si sisteme omogene, la care b=0. Sistemele de ecuatii liniare neomogene au o solutie unica daca si numai daca matricea A este nesingulara. Daca matricea A este singulara, atunci cel putin una dintre ecuatii nu este liniar independenta, sistemul avand o infinitate de solutii.

Sistemele de ecuatii liniare omogene admit solutia banala x=0. Ele admit si alte solutii nebanale doar daca matricea A este singulara.

Din punct de vedere al solutiilor, pentru un sistem liniar de ecuatii pot exista urmatoarele situatii: sistemul nu are nici o solutie, sistemul are solutie unica sau sistemul are o infinitate de solutii.

Solutionarea sistemelor de ecuatii liniare se poate face cu doua categorii de metode: metode directe sau exacte metode indirecte sau iterative Metodele directe se caracterizeaza prin aceea ca solutia sistemului rezulta printr-o secventa de operatii care se executa o singura data, numarul total de operatii aritmetice elementare fiind finit si cunoscut de la inceput.

La metodele iterative solutia se obtine printr-un proces de aproximatii succesive, cu convergenta practic finita. O secventa de operatii este parcursa de mai multe ori, obtinand aproximatii tot mai bune ale solutiei, pana la atingerea unei precizii fixate in prealabil.

Prezentarea metodelor implementate I. Metoda aproximatiilor succesive, versiunea Jacobi.

Se porneste de la sistemul liniar de ecuatii de ordinul n definit de relatia A*x=B. Se initializeaza vectorul x al solutiilor conform relatiei xi=bi/ai, i. La fiecare pas al procesului iterativ de calcul, noile valori ale variabilelor se determina cu relatia: Xik=[bi -?ai, j*xjk-1] / aii i, j=1, 2, n j=i Conditia de terminare a procesului de calcul este de forma: Max {?xik-xik-1? } = e, unde i=1. n. II. Metoda aproximatiilor succesive, versiunea Gauss-Seidel Metoda Gauss-Seidel ...