Teoria Haosului. Teoria Fractalilor

Capitolul 1

Ce sunt fractalii?

"În ochii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul."

James Glick, "Haos", 1986

1.1. Scurt istoric

Asa cum am mentionat mai sus, Euclid a construit o geometrie bazata pe logica si pe niste adevaruri intuitive. El a dezvoltat astfel un set de reguli logice pentru a descrie punctul, dreapta si planul (axiome):

1. Prin oricare doua puncte distincte trece o dreapta si numai una;

2. Orice segment de dreapta poate fi prelungit la infinit (sub forma unei drepte);

3. Dat fiind un segment de dreapta, se poate construi un cerc cu centrul la unul din capetele segmentului si care are segmentul drept raza;

4. Toate unghiurile drepte sunt congruente;

5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singura paralela la acea dreapta.

În geometria euclidiana, trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul, iar patru puncte necoplanare determina un spatiu. Simplu si logic. Observatiile nu au avut nici un rol în gândirea euclidiana.

Aproape doua milenii mai târziu, în 1600, Rene Decartes a zguduit geometria euclidiana, sugerând ca spatiul fizic poate fi disecat si masurat cu ajutorul a trei axe perpendiculare, localizând astfel fiecare punct din spatiu prin trei dimensiuni liniare. Ideea ca Universul poate fi imaginat ca o multitudine de cuburi mici a format fundamentul stiintei moderne asupra lumii.

Un secol mai târziu, Gottfried Wilhelm Von Leibniz si Sir Isaac Newton au dus lucrurile mai departe, facând o presupunere periculoasa si revolutionara, pe care nu au putut-o demonstra matematic initial, si anume ca orice curba este de fapt un numar infinit de segmente de dreapta (numite tangente). Astfel, ei au inventat calculul diferential. Ideea de baza a acestuia este ca orice curba marita la infinit se aseamana din ce în ce mai mult cu o dreapta, iar limita acestui proces este tocmai linia cu care ar semana curba la infinit. Leibniz nu a putut sa îsi explice însa de ce teoria lui dadea rezultate în majoritatea cazurilor, dar uneori ducea la nepotriviri neasteptate. Desi chiar el a abandonat ideea segmentului de dreapta infinitezimal, ea a ramas în folosinta dând rezultate în majoritatea cazurilor. Presupunerea ca, la infinit, curbele de fapt sunt similare dreptelor, ramâne în picioare, desi aparitia iminenta a unor forme imposibil de supus liniaritatii avea sa zguduie iar matematica.

Fig. 1.1. - Aproximarea curbelor cu linii tangente

Totul a început în 1875 când marele matematician german Karl Waierstrass a descris o curba continua care nu putea fi diferentiata, deci nu parea sa aiba nici o tangenta. O multime de curbe ciudate au început sa apara, denumite "Galerie de monstri".