Rezolvarea dilemei lui Benacerraf prin argumentul indispensabilitatii

Introducere

Lucrarea lui Paul Benacerraf, „Mathematical truth”, a avut un efect răsunător asupra publicului, schimbând traiectoria gândirii bazelor matematicii, dar având de asemenea și aplicații importante în alte domenii de activitate. Ea nu mai poate fi ignorată dacă discutăm problema adevărului, întrucât reprezintă un atac la adresa realismului platonic, doctrină pe care încă ne fundamentăm adesea concepțiile, matematice sau nu . Platonismul este întemiat pe o teorie a numerelor ca realități independente de mintea umană,deci pe o teorie care implică un statut ontologic deosebit al numerelor.

Dilema în cauză poate fi rezumată astfel: există o tensiune peste care nu putem trece între dimensiunea semantică și cea epistemologică a matematicii. Pe de-o parte, la prima vedere suntem încredințați că din punct de vedere semantic discursul matematic favorizează o poziție realistă, dar pe de altă parte dimensiunea epistemologică favorizează în același timp o interpretare anti-realistă și una nominalistă.

În acest eseu voi încerca să ilustrez dilema lui Benacerraf, conform tezei că argumentul indispensabilității este o metodă eficientă de evitare a acestei dileme.

Partea I: Dilema lui Benacerraf

În articolul menționat în introducere, Paul Benacerraf ridică o problemă capitală pentru dezvoltarea ulterioară a filosofiei matematicii. Însă felul în care tratează filosoful francez problema adevărului în acest articol are implicații ontologice. În continuare voi expune această concepție. În primul rând, cuvântul „dilemă” înseamnă a avea de ales dintre două opțiuni, fiecare dintre ele cu consecințe negative. Întocmai o astfel de situație prezintă argumentele filosofului francez.

Dilema lui Benacerraf poate fi rezumat astfel: atunci când urmărim să luăm o decizie privitoare la implicațiile ontologice din matematică, adică la statutul real al obiectelor și teoriilor matematice, suntem trași inevitabil în două direcții deodată, în funcție de punctul de plecare preferat.

Să luăm exemplul următor, propoziția: „3 este un număr prim”.

Dintr-un punct de vedere, ne-am dori să avem o semantică pentru acest adevăr matematic, adică ne-am dori să știm ce semnifică propoziția aceasta și care este valoarea ei de adevăr, precum și ce anume o face să fie adevărată, în același fel cum spunem despre un argument natural că este valid sau nu. Dintr-un alt punct de vedere, ne dorim să avem pentru această propoziție o epistemologie validă, adică ne dorim să putem explica felul cum am cunoscut-o. Dar, după Benacerraf, dacă păstrăm primul punct de vedere, adică o dezideratul unei semantici a propozițiilor matematice, suntem forțați să ne asumăm o variantă de ontologie matematică șubredă din punct de vedere epistemic.

Pe de altă parte, dacă cineva încearcă să păstreze cea mai bună epistemologie pentru adevărurile matematice, aceasta nu mai poate fi translatată în mod plauzibil într-o teorie semantică coerentă. Așadar avem de ales, conform cu tipul de ontologie la care aderăm, la Platonism sau la Nominalism . Să luăm mai întâi de toate cazul 1, adică cel în care cineva urmărește o teorie semantică plauzibilă pentru adevărul matematic. În continuare voi urmări exemplele lui Benacerraf pentru o ilustrare coerentă a ideilor acestuia.

Așadar, Benacerraf ne cere să comparăm două propoziții :

1. Există cel puțin trei orașe mai mari decât New York.

2. Există cel puțin trei pătrate perfecte mai mari decât 17.

La prima vedere, cele două enunțuri par să împartă aceeași formă logică și aceeași valoare de adevăr, dar întrebarea este dacă au aceeași justificare logică pentru adevăr. Formalizând ambele propoziții, vom ajunge la ceva asemănător. În orice caz, pare că este vorba despre necesitatea justificării existenței unor entități, în primul caz despre existența a cel puțin trei orașe, iar în cel de-al doilea, despre existența a cel puțin trei numere. Concluzia lui Benacerraf este că dacă vrem să includem propoziții precum ce-a de-a doua de mai sus într-o teorie semantică plauzibilă, una pe care o folosim deja pentru justificarea opiniilor noastre, atunci suntem automat platoniști, adică realiști cu privire la obiectele matematice, adică acordându-le acestora un statut ontologic asemănător cu cel al orașelor din primul exemplu.