Estimarea prin Intervale de Încredere

Extras din referat Cum descarc?

Sa consideram variabila aleatoare X, caracterizata de familia de repartitii ,ce depind de parametrul ? , a carui valoare bine determinata nu o cunoastem si pe care dorim sa o estimam, pe baza unei selectii de volum n:x1, x2, , xn. 
In metoda punctuala de estimare se cauta o functie de selectie Tn(x1, x2, , xn) pe care, in cazul cand Tn(x1, x2, , xn) o numim functie de estimatie a parametrului ? 
Intrucat Tn(x1, x2, , xn) variaza ca precizie, este de dorit sa dispunem de o indicatie asupra preciziei ei, iar metoda intervalelor de incredere pe care o punem in evidenta acum are astfel de virtuti.
Sa presupunem ca, pe baza selectiei mentionate, se pot determina doua functii de selectie, si astfel incat probabilitatea inegalitatii:
este independenta de ? si
(? independent de ? )
Numarul ? se ia foarte apropiat de 1, ceea ce inseamna ca inegalitatea ?1 <= ? <= ?2 
este indeplinita in majoritatea cazurilor.
Pentru o selectie efectuata si iau valori bine determinate si prin urmare am gasit un interval care acopera parametrul ? cu o probabilitate ? apropiata de 1. Cu cat lungimea acestui interval este mai mica si probabilitatea ? este mai apropiata de 1, cu atat vom avea o indicatie mai precisa asupra valorii parametrului ? 
Intervalul este numit interval de incredere, iar numarul ? nivel de incredere. Numarul ? = 1 - ? este numit nivel de semnificatie. 
Subliniem faptul ca afirmatia "intervalul [? 1, ? 2] acopera valoarea parametrului ? cu probabilitatea ?" este corecta, caci ? este fixat (desi necunoscut) iar ? 1, 
? 2 - capetele intervalului si variabile aleatoare, depinzand de variabilele de selectie x1, x2, , xn 
Vom prezenta acum doua cazuri utilizate frecvent in aplicatii pentru determinarea unui interval de incredere.
1. Exista o functie de datele de selectie si de parametrul ? , cu proprietatile:
a) este continua si strict monotona in raport cu ? ;
b) Functia de repartitie a variabilei aleatoare nu depinde de ? sau de alti parametri necunoscuti. 
Atunci, putem determina doua numere ?1(? ) si ?2(? ) astfel incat:
Sa folosim acum faptul ca U(x1, x2, , xn; ? ) este continua si strict monotona in raport cu ? Pentru a ne fixa ideile, sa presupunem ca este strict crescatoare in raport cu ? 
In acest caz, evenimentul:
este echivalent cu evenimentul:
si, prin urmare, au aceeasi probabilitate ?:
Am determinat astfel un interval: care acopera parametrul ? cu probabilitatea fixata ?.
2. Sa consideram o functie de selectie care are functia de repartitie:
G(x; ? ) = P (U(x1, x2, , xn) < x).
Presupunem ca functia de repartitie G(x; ? ) admite densitatea de repartitie 
g(x; ? ).
Fie acum r, s doua numere reale pozitive, r >= 0, s >= 0, astfel incat r + s = 1 si a1(? ; ?), b1(? ; ?) doua functii de ? si ? pentru care au loc egalitatile:
Daca [a, b] este intervalul in care functia de selectie U(x1, x2, , xn) ia valori, atunci:
In baza proprietatilor numerelor r, s si a functiilor a1(? ; ?), b1(? ; ?), rezulta: 
Urmeaza de aici ca: si, deci, probabilitatea inegalitatii este independenta de ?.
Sa presupunem ca functiile si sunt continue si strict crescatoare in raport cu ?.
Atunci, exista un numar astfel incat inegalitatile: 
sa fie echivalente; analog, exista un numar 
astfel incat inegalitatile:
sa fie echivalente. 
Dar, atunci, inegalitatea:
este echivalenta cu: 
Rezulta ca am determinat un interval care acopera cu o probabilitate ?, parametrul ? 
In cazul in care repartitia teoretica a variabilei aleatoare de selectie U(x1, x2, , xn) este discreta, in loc sa consideram un interval de incredere care acopera cu probabilitatea ? parametrul ? , vom considera un interval de incredere care acopera parametrul ? cu o probabilitate cel putin egala cu ?.
In acest caz, egalitatile:
; 
Devin: 
; 
Intervale de incredere pentru parametrii m si ?2, dintr-o repartitie normala N(m, ?)
Pentru a construi un interval de incredere pentru parametrul m vom distinge doua cazuri: ? cunoscut si ? necunoscut.
Intervalul de incredere pentru parametrul m cand ? este cunoscut.
Consideram functia de selectie:
Selectia fiind efectuata dintr-o proportie normala N(m, ?), variabila aleatoare este normala N(0; 1) si, deci, functia ei de repartitie este independenta de parametrul m.
Pe de alta parte este continua si strict descrescatoare in variabila m.

Fisiere in arhiva (1):

 Estimarea prin Intervale de Incredere.doc