Observabilitate

Extras din referat

Observabilitatea sistemelor continue
Problema observabilitatii consta in determinarea starii initiale x_0 a unui sistem ? , cunoscand semnalele exterioare : intrarea u(t)?R^m si iesirea y(t)?R^p.
Consideram sistemul :
?:{?(x (t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) -ecuatia de stare (1)@y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t) -ecuatia de iesire (2))+
Fie ?(t,t_0) matricea fundamentala a matricei A(t).Scriem aplicatia intrare-iesire a sistemului ? , care da iesirea produsa de starea initiala x_0?R^n si comanda u(t) .
y_(x_0 ) (t)=C(t)?(t,t_0 ) x_0+?_(t_0)^t?C(t)?(t,s)B(s)u(s)ds+D(t)u(t) (3) 
Fixam un interval [t_0,t_1]?R. 
Definitia 1.1: Spunem ca starea x_0?R^n este neobservabila pe interval [t_0,t_1] daca starea initiala x_0 produce aceeasi iesire ca si starea initiala 0 ?R^n pentru orice comanda u(t).
Din (3) - iesirea produsa de produsa de starea initiala 0  
y_0  (t)= ?_(t_0)^t?C(t)?(t,s)B(s)u(s)ds+D(t)u(t) (4) 
Rezulta deci, ca x_0 este neobservabila pe [t_0,t_1] <=>y_(x_0 ) (t)=y_0  (t),?t?[t_0,t_1] pentru orice comanda y_(x_0 ) (t)-y_0  (t)=0 <=>C(t)?(t,t_0 ) x_0=0  pentru orice ?[t_0,t_1] .
Propozitia 1.1: Starea x_0?R^n este neobservabila pe interval [t_0,t_1 ]<=>
C(t)?(t,t_0 ) x_0=0 ,?t?[t_0,t_1] (5)
Definitia 1.2: Se numeste gramianul de observabilitate a sistemului ?=(A,C) , matricea 
O(t_0,t_1 )=?_(t_0)^(t_1)????(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T C(t)?(t,t_0 ) ? dt=>
?( @O(t_0,t_1 ) )^T=?_(t_0)^(t_1)????(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T C(t)?(t,t_0 ) ? dt=O(t_0,t_1 )=>
O(t_0,t_1 ) este matrice constanta, simetrica.
Propozitia 1.2:Starea x_0 este neobservabila pe interval [t_0,t_1 ]<=>O(t_0,t_1 ) x_0=0  (6)
Demonstratie:
"=>" Presupunem ca x_0 este neobservabila =>are loc (5) .
Atunci 
O(t_0,t_1 ) x_0??_(t_0)^(t_1)????(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T C(t)?(t,t_0 ) x_0 dt=? 0  ,deoarece
C(t)?(t,t_0 ) x_0=0 
"\"<=\" " Presupunem ca are loc (6) . Inmultim egalitatea (6) la stanga cu ?x_0?^T 
=>?_(t_0)^(t_1)???x_0?^T ??(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T C(t)?(t,t_0 ) x_0 dt=? 0
Notam cu ?w(t)?^T=?x_0?^T ??(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T si cu w(t)=C(t)?(t,t_0 ) x_0=>
?_(t_0)^(t_1)???w(t)?^T w(t)dt=? 0=>?_(t_0)^(t_1)?? ?+ w(t)+?+dt=? 0=>?+ w(t)+?+=0=>w(t)=0 =>C(t)?(t,t_0 ) x_0=0 ,?t?[t_0,t_1 ] ?(=>+P_1 )x_0 este neobservabila pe [t_0,t_1 ] .
Definitia 1.3: Sistemul ?=(A,C) este complet observabil pe intervalul [t_0,t_1 ] daca nu exista nici o stare x_0!=0  neobservabila.
Avem urmatorul lant de afirmatii echivalente:
? este complet observabil <=>kerO(t_0,t_1 )={0}<=>det?O(t_0,t_1 ) !=0<=>rang O(t_0,t_1 )=n ?.
Sistemul ?=(A,C) este complet observabil pe intervalul [t_0,t_1 ]<=> rang O(t_0,t_1 )=n .
Determinarea starii initiale 
Fie ?=(A,B,C,D) un sistem complet observabil pe [t_0,t_1 ]=> gramianul O(t_0,t_1 ) are inversa , ?O(t_0,t_1 )?^(-1).
Aplicatia intrare -iesire :
y(t)=C(t)?(t,t_0 ) x_0+?_(t_0)^t?C(t)?(t,s)B(s)u(s)ds+D(t)u(t) ,t?[t_0,t_1 ] =>
C(t)?(t,t_0 ) x_0=y(t)-?_(t_0)^t?C(t)?(t,s)B(s)u(s)ds-D(t)u(t)=y (t).
Inmultim la stanga cu ??(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T si integram pe [t_0,t_1 ]
?_(t_0)^(t_1)????(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T C(t)?(t,t_0 )dt x_0 ?=?_(t_0)^(t_1)????(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T y (t)dt? (O(t_0,t_1 )=?_(t_0)^(t_1)????(t,t_0 )?^T ?C(t)?^T C(t)?(t,t_0 ) ? dt. Inmultim la stanga cu ?O(t_0,t_1 )?^(-1))

Fisiere in arhiva (1):

 Observabilitate.docx