Regula Simpson

1. Regula lui Simpson de ordinal 3

Aceasta regula de aproximare a integralelor imbunatateste precizia regulii trapezului.

In timp ce regula trapezului se baza pe integrarea polinoamwelor de ordinul 1 regula lui Simpson considera integrantul ca fiind aproximat printr-un polinom de ordinal 2.

Metoda 1: Fie

Pentru evaluarea celor 3 coeficienti ai functiei se aleg urmatoarele puncte:

+

De aici:

Pornind de la faptul ca la regula lui Simpson de ordinal 3, intervalul [a,b] este divizat in 2 segmente, cu dimensiunea segmentului:

Exemplu 1:

Distanta pe vertical a unei rachete pe durata de la t =8 la t= 30 sec. este data de:

a) Sa se determine distant parcursa utilizand regula trapezului

b) Sa se determine eroarea absoluta, Et .

c) Sa se determine eroarea absoluta relativa

Rezolvare

a)

b) Valoarea exacta a integralei de mai sus este

c) Eroarea relative absoluta va fi

Regula lui Simpson pentru multisegment

Ca si in cazul regulii trapezului si in cazul integrarii prin regula lui Simpson repetata se face prin divizarea intervalului [a,b] in segmente egale si se repeat integrarea pentru fiecare segment:

Pornind de la faptul ca

atunci

Exemplul 2: Se utilizeaza regula lui Simpson 1/3rd pentru 4 segmente, pentru aproximarea distantei parcurse de racheta, in intervalul de timp de la t =8 la

a) Se utilizeaza regula lui Simpson cu 4 segmente pentru determinarera probabilitatii.

b) Sa se determine eroarea reala Et pentru punctual anterior (a).

c) Sa se determine eroarea relative, in valoare absoluta pentru punctul (a).

Rezolvare:

a) Utilizand regula lui Simpson pentru n segmente,

unde

Asa incat

Rezultand ca

In acest caz eroarea este

Iar eroarea relative in valoare absoluta este

Eroarea in regula lui Simpson

Eroarea intr-o singura aplicare a regulii lui Simpson este data de derivate de ordinal 4 a lui f.

In regula lui Simpson, multisegment, eroarea reprezinta suma erorilor la fiecare aplicatie a regulii lui Simpson

Eroarea totala prin regula lui Simpsona plicata multisegment este

Integrare in Matlab prin regula lui Simpson

Structura cod program mtl_int_sim_simpsonmeth.m cu rulare in Matlab 7.5

% Numele fisierului M

% mtl_int_sim_simpsonmeth.m

% Scop

% de a ilustra regula lui simpson 1/3rd aplicata unei functii aleasa de utilizator

% Intrari

% Reprezinta locul din program unde utilizatorul efectueaza modificari

% pe baza dorintei acstora

% f(x), functia de integrat

f= @(x) 2000*log(1400/21./x)-9.8*x ;

% a, limita inferioara de integrare

a=8 ;

% b, limita superioara de integrare

b=12 ;

% n, numarul de segmente. Notam ca acest numar trebuie sa fie par.

n=12 ;

%**********************************************************************

% Se afiseaza titlul informatiei

disp(sprintf('nnSimularea regulii lui Simpson 1/3rd'))

disp(sprintf('n*************************Introducere************************'))

% Se afiseaza textul de introducere

disp('Regula trapezului a fost bazata pe aproximarea integrantului printr-un polinom de ordinal intai')

disp('si integrarea polinomului in intervalul de integrare.')

disp(' Regula lui Simpson 1/3 reprezinta o extensie a regulii trapezului acolo unde integrantul')