http://www.tocilar.ro/flux_rss.html Wed, 23 May 2012 22:23:51 +0100 FeedCreator 1.7.2 http://www.tocilar.ro/img/ico_logo.gif http://www.tocilar.ro/ http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-algebra_clasa_vi.html un este nr prim Proprietatile divizibilitatii nr naturale Orice nr nat este divizibil cu 1 Orice nr nat este divizibil cu el insusi 0 este multiplu pt orice nr nat Daca a| b si b|c atunci a|c (pt orice nr nat a b c Daca a|b si a|c atunci a|b+c si a| b-c Daca a|b atunci a|b-n (pentru orice n nr nat) Daca nr nat a este divizibil cu nr nat b atunci a este divizibil cu toti divizorii lui b Cel mai mare divizor comun (c. m. m. d. c) Doua nr carea u c. m. m. d. c 1 se numesc nr prime intre ele. Daca un nr este divizibil cu doua nr prime intre ele, atunci nr este divizibil si cu produsul lor. Cel mai mare divizor comun a doua nr nat nenule este cel mai mare nr nat care divide nr date. Cel mai mare divizor comun al mai multor nr nat este produsul tuturor factorilor primi comuni, luati o singura data cu exponentul cel mai mic. (18; 24) =2*3=6 Cel mai mic multiplu comun (c. m. m. m. c) Cel mai mic multiplu comun al nr nat a si b, nenule este cel mai mic nr nat diferit de 0, care este divizibil cu nr date. Cel mai mic multiplu comun al mai multor nr nat este produsul tuturor factorilor primi comuni si necomuni, luati o singura data, cu exponentul cel mai mare. (18; 24) =2*2*2*3*3=72 Numere rationale pozitive-fractiile 3-numarator - 10-numitor ! Numitorul unei fractii trebuie sa fie diferit de 0. Fractii subunitare => numaratorul < numitorul Fractii echiunitare => numaratorul=numitorul Fractii supraunitare => numaratorul > numitorul Amplificarea si simplificarea O fractie se care un se poate simplifica (cand numaratorul si numitorul sunt prime intre ele) se numeste fractie ireductibila. O fractie care se poate simplifica se numeste fractie reductibila. Proportii O egalitate de doua]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-andrei_dobrescu.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-cmmdc_si_cmmmc.html b, este tabloul de relatii: a=bq1 + r1 unde 0 Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-concursul_interjudetean_pitagora.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-corpuri_geometrice_rotunde.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-derivarea_functiilor_compuse.html 0 f (x) =ln3 (3x2+5x), x>0 Acum este usor de vazut ca: Bibliografie: Manual pentru clasa a XI-a Volumul I Elemente de analiza matematica Editura Mathpress 2002]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-distante.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-ecuatii.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-ecuatii_exponentiale_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-elemente_de_statistica_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-formule_la_algebra.html a=0 sau b=0 Daca |x|=3 => x=3 sau x=-3 Pentru a rezolva o ecuatie de gradul 2 procedam astfel: 1) Trecem totzi termeni in membrul stang 2) Descompunem in factori membrul stang 3) Egalam fiecare factor cu 0 si gasim radacinile Formula de rezolvare a ecuatie de gradul 2 ax 2 +bx +c =0 a, b, c coeficienti calculeaza discriminantul ?=b2 -4 ac 2x2 - 7x+ 5=0 a=2 b=-7 c=5 ?= 49 -40 =9 = 0 Daca A (x; y) Dependenta funcionala: Se numeste dependenta funcioonala intre 2 multimi nevide A, Bo corespondenta intre elementele luiA si elementele lui b care face ca la orice element din a sa-I corespunda un isngur element in B. A=domeniu de definitie B=codomeniu (multimea in care dependenta functonala ia valori) Legea de corespondenta este al 3-lea element Probabilitatea Problema: Un pachet de carti are 52 carti. Aflati probabilitatea extragerii: a) unui 10 b) unui nr. prim c) unui p. p. d) unui nr. par [Proprietatile egalitatii cu nr. reale] 1) a=a (reflexivitate) 2) Daca a=b =>b=a (simetrie) 3) Daca a=b si b=c =>a=c (transitivitate) Medii Mh< Mg< Ma Metode de rezolvare A sistemelor de ecuatie 1) Metoda Grafica 2) metoda Substitutiei 3) Metoda Reducerii Multimi Relatii diferenta X produs cartezian N numere naturale: 1, 2, 3 Z numere intregi: -1; -2; 0; 2 Q numere rationale: 1, 4; -5, 4; 3, (5) MINIME: 1) Aflati valoarea minima a expresiei E (x) =x˛-10x+35 E (x) =x˛-10x+25+10 E (x) = (x-5) ˛+10 ( ( (x-5) ˛=0 (V) x?R|+10 ( ( (x-5) ˛+10 =10 =>E (x) =10 =>minE (x) =10 MAXIME 1) Aflati valoarea maxima a expresiei E (x) =-x˛-10x+20 x?R E (x) =-x˛-10x-25+45 E (x) =- (x˛+10X+25) +45 E (x) =- (x+5) +45 (x+5) ˛=0 | (-1) =>- (x+5) ˛=0 =>E (x) =45=> max E (x) =45 Puteri]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-functia_cos_si_arccos.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-functia_de_gradul_al_doilea_varianta_2.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-functia_exponentiala_si_functia_logaritmica.html 1. Se numeste puterea x a lui a un numar real y care, pentru orice numar natural n, satisface inegalitatile : b). Puteri cu exponent real negativ c). Proprietati ale puterilor cu exponent real 2). Functia exponentiala Proprietati Deci f este injectiva. Surjectivitatea nu se poate demonstra in clasa a X-a. Dar, daca se foloseste graficul, se observa ca oriceparalela dusa prin puncteale codomeniului (0, + graficul functiei este interesctat in cel putin un punct. 3). Graficul functiei exponentiale Graficul functiei exponentiale se construieste prin puncte. Exemplu. Se intocmeste un tablou de valori pentu cele doua cazuri : Analizand cele doua grafice, constatam ca ele au urmatoarele proprietati : Graficele se gasesc deasupra axei Ox; Trec prin punctul de coordonate (0, 1); Graficul fiecarei functii este construit dintr-o singura ramura care, urca Graficul se apropie din ce in ce mai mult de axa Ox pozitiva daca daca 0 1. Ce trebuie sa stim 2. Daca a>1 este un numar real, atunci dintre doua puteri cu exponent rational pozitivale ale acestui numar, este mai mare acela al carei exponent este mai mare. 3. Daca 0 < a <1 este un numar real, atunci dintre doua puteri cu exponent rational pozitivale ale acestui numar, este mai mare acela al carei exponent este mai mic. Probleme rezolvate E3. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv: E4. C3-1. Sa se compare m si n daca este adevarata inegaitatea: E5. C3-1. Sa se afle multimea valorilor lui x pentru care: E5. C3-1. Rezolvare. Avem succesiv : Fisa de studiu S1. C3-1. Sa se afle care numar din perechile de numere este mai mare: S2. C3-1. Sa se afle multimea valorilor lui x pentru care este adevarata inegalitatea : S3. C3-1. Sa se compare m si n daca este adevarata inegalitatea: S4. C3-1. Comparati numerele cu 1: Logaritmi 1). Logaritmi 2). Proprietatile logaritmilor Daca A si B sunt doua numere positive, atunci are loc: 3). Schimbarea bazei logaritmului aceluiasi numar Daca a si b sunt doua numere pozitivediferite de 1, iar A un numar pozitiv oarecare, are loc egalitatea: Numita formula de schimbare a bazei unui logaritm. Daca in egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devineaaa; 4). Operatia de logaritmare a unei expresii Operatia]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-functia_logaritmica.html 1, atunci functia logaritmica este strict crescatoare, iar daca 0logax2, adica f (x1) >f (x2). 3. Functia logaritmica este bijectiva jectiva. Deci f (x) =y, ceea ce ne arata ca f este si surjectiva. Asadar, f este bijectiva. 4. Inversa functiei logaritmice este functia exponentiala 3) Proprietatile logaritmilor Folosind proprietatile puterilor cu exponenti reali obtinem urmatoarele proprietati pentru logaritmi: a. Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci loga (AB) =logaA+logaB (logaritmul produsului a doua numere este egal cu suma logaritmilor celor doua numere). Ax+y =A*B si deci loga (AB) =x+y=logaA+logaB. Observatie. Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1, A2, ... An adica Loga (A1A2 An) =logaA1+logaA1+logaA2+ +logaAn. b. Daca A si B sunt doua numere pozitive, atunci (logaritmul catului a doua numere este egal cu diferenta dintre logaritmul numara- torului si cel al numitorului). Observatie. Daca punem A=1 si tinem cont ca loga1=0, obtinem egalitatea: c. Daca A este un numar pozitiv si m un numar real arbitrar, atunci logaAm=mlogaA (logaritmul puterii unui numar este egal cu produsul dintre exponentul puterii si loga- ritmul numarului). Intr-adevar, daca logaA=x, atunci ax=A. Dar atunci Am= (ax) m=amx si deci]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-functii_periodice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-functii_trigonometrice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-gestionarea_activelor_curente.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-gheorghe_vranceanu.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-graficele_functiilor_trigonometrice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-grigore_c_moisil.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-infinitul_mare_mic_si_unitatea.html 1 Kx = 8 K=1 Kx = 1 K<1 Kx = 0 K<0 Kx = nedeterminare deoarece ia valoarea 8 pentru x par respectiv -8 pentru x impar Valoarea 1 (unitatea) apare aici ca si valoarea 0 cu proprietati singulare. Cu 0 suntem lamuriti. El desparte numerele pozitive de cele negative. Vom avea ocazia de a mai reveni asupra elementului 0 din multimi. Ce semnificatie poate avea insa unitatea? Insasi expresiile larg folosite supraunitar respectiv subunitar dau o semnificatie aparte acestui punct. Aceste sintagme apar de obicei la fractii ordinare si exprima marimea numaratorului fata de numitor. Toate fractiile care au numaratorul mai mare decat numitorul se plaseaza pe axa in dreapta unitatii pe cand cele cu numitor mai mare in stanga, ramanand in domeniul pozitiv. A si B au cardinalitati egale deoarece fiecare element din A are un element univoc in B egal cu inversul sau. Putem defini deci unitatea drept mijlocul multimii elementelor pozitive din Sa reluam studierea elementul 0. El face parte din toate multimile]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-limite_fundamentale.html x0 lim f (x) =0 x-> x0 lim (af (x) -1) /f (x) =ln a x-> x0 daca lim f (x) =0 x-> x0 lim [(1+x) r-1)]/x=r x-> x0 lim sin f (x) / f (x) =1 x-> x0 daca lim f (x) =0 x-> x0 lim (ef (x) -1) /f (x) =1 x->0 daca lim f (x) =0 x-> x0 0/0 - lim de functii rationale in puncte finite a Se face simplificarea prin (x-a) k - lim de functii in compunere cu functia modul Se expliciteaza modulul - sub radical de ordine diferite figureaza aceeasi expresie Se schimba variabila, notandu-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor cu alta variabila - sub radical figureaza expresii diferite Se amplifica numaratorul si (sau) numitorul cu expresia conjugata - lim trigonometrice lim sin f (x) / f (x) = lim tg f (x) / f (x) = lim arcsin f (x) / f (x) = lim arctg f (x) / f (x) =1 x-> x0 x-> x0 x-> x0 x-> x0 - lim de functii rationale Se aduce la acelasi numitor - lim de functii irationale Se amplifica cu conjugata 1? lim (1+ f (x)) 1/f (x) = e x-> x0 00 lim x*ln x=0 si scrierea fg=e g* ln f x>0]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-locuri_geometrice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-mari_matematicieni_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-matrici_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-matrici_patrate_de_ordin.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-metoda_inductiei_matematice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-notiuni_de_teorie_matematica.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-numerele_lui_fibonacci.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-numere_complexe.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-pentagrama_lui_pitagora.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-phi_si_phi_proportia_divina.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-piramida_si_conul_probleme_si_rezolvari.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-portofoliu_matematica.html n factori a a= baza n= exponent 1. Reguli de calcul cu puteri: Pentru a inmulti 2 puteri cu aceeasi baza, scriem o singura data baza si adunam exponentii. Deci putem scrie in general ca oricare ar fi a, m, n. numere naturale am*an=am+n. Ex.: 1. 23*27=23+7=215 2. 52*513=52+13=515 2. Impartirea: Pentru a impartii doua numere care au aceeasi baza, pastram baza si scadem exponentii. In general am÷an=am-n. Ex.: 315÷37=315-7=38 3. Puterea unei puteri Pentru a ridica o putere la o alta putere a unui numar natural scriem baza si inmultim exponentii. Ex.: (25) 7=25*7=235 4. Ultima cifra a unui numar Orice putere a unui numar care are ultima cifra 0, 1, 5 sau 6, va avea ultima cifra tot 0, 1, 5 sau 6. Orice putere a unui numar natural care are ultima cifra 4 este 6 daca exponentul este par si 4 daca exponentul este impar. Oricare ar fi K un numar natural avem: 24k are ultima cifra 6 24k+1 are ultima cifra 2 24k+2 are ultima cifra 4 24k+3 are ultima cifra 8 4. Compararea si ordonarea puterilor Dintre doua puteri care au aceeasi baza, este mai mare puterea care are exponentul mai mare. Dintre doua puteri care au aceeasi baza, sunt egale daca exponentii lor sunt egali. Daca avem doua puteri care au baze diferite, dar aceeasi exponenti este mai mare puterea care are baza mai mare. Puterile care au baze si exponenti diferiti, se compara astfel: aducem puterile dupa cum este posibil, ori la aceiasi exponenti, ori la aceeasi baza. Ex.: 230<320 220+10<320 220*210<320 5. Divizibilitatea numerelor naturale Definitie: Un numar natural a este divizibil cu un numar natural b daca exista un numar natural c astfel incat a = b*c. Ex.: Fie numerele naturale 8 si 2. Exista oare un numar natural astfel incat inmultindul cu 2 sa obtinem 8? Da. Acest numar este 4. Intr-adevar: 8 = 2*4. Se mai spune: a se divide cu b, b divide pe a, b este divizor al lui a, a este multiplu al lui b. Daca a]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-postulatul_v_al_lui_euclid.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-proprietatile_formelor_geometrice.html 900). Proprietati: - Doua triunghiuri dreptunghice sunt asemenea daca au o pereche de unghiuri ascutite congruente; - Doua triunghiuri isoscele sunt asemenea daca au o pereche de unghiuri congruente; - Doua triunghiuri echilaterale sunt asemenea; - Doua triunghiuri dreptunghice isoscele sunt asemenea; - Doua triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea; - Doua triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt asemenea; - Daca doua triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de asemanare al laturilor este egal cu: - raportul bisectoarelor; - raportul inaltimilor; - raportul medianelor; - raportul razelor cercurilor inscrise; - raportul razelor cercurilor circumscrise. Linii importante in triunghi: mediatoarea -perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe mediatoare este egal departat de capetele segmentului, punctul de intersectie al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului, se noteaza cu O bisectoarea -dreapta care imparte unghiul in doua parti congruente, orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului, punctul de intersectie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului inscris triunghiului, se noteaza cu I. Teorema bisectoarei: intr-un triunghi oarecare bisectoarea imparte]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-pythagoras.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-radicali.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-reguli_si_definitii_geometrie.html 90 grade. Unghiul nul este cel mai mic unghi ascutit. Unghiul alungit este cel mai]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-rene_descartes.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-retele_planimetrice.html : 1. cand se poate aplica regula respectiva, 2. cum se aplica regula Sub. 2. Situatia 1 de echivalenta. Se considera urmatorul sistem de ecuatii ale corectiilor: Obs!. La fel ca in oricare sistem de corectii n>u (2) In toate ec intervine nec dz, care in toate ec are coef -1. n>u+1. Ac. este conditia in care se poate aplica reg1 de echiv a lui Schreiber. Se va dem. ca sist (1) e echiv cu urm sist de ec. Se observa ca necunoscuta dz are coeficientul 1 in toate ecuatiile. Sistemul (6. 13) poate fi inlocuit printr-un sistem echivalent (6. 14), care are un numar de n+1 ecuatii, insa din care lipseste necunoscuta dz: Ultima ecuatie a sistemului (3) este denumita ecuatie suma. Pentru demonstrarea echivalentei urmarite, se formeaza sistemul de ecuatii normale corespunzator sistemului (6. 13): Se deduce necunoscuta dz din prima ecuatie normala: si se introduce in celelalte ecuatii. In acest fel se obtine: Formand direct ecuatiile normale ale sistemului (1) vor rezulta aceleasi ecuatii (7), ceea ce demonstreaza echivalenta cautata. Sist (7) este sistemul de ec normale obtinut din sist de ec de corectii (1) dupa ce s-a obtinut din sist de ec de corectii, dupa ce s-a eliminat nec dz. Si acest sist indepl cele 3propr specifice sist lor de ec normale: a). sist. este patrata; dar spre deoseb. de (5) are cu dimensiune mai putin: cu linii si cu coloane. b) este simetrie fata de diagonala principala c) termeni de pe diagonala sunt pozitivi Dupa determinarea (calcularea) necunoscutelor ce intervin in (7): dx1 dx2. dxn cu metoda Gauss (eliminari succcesive se determina (calc.) Datorita regulii 1 de echiv nu se mai rez sist de ec normale (5) ci se rez. (7), care are o nec mai putin. Sub. 3. Situatia 2 de echivalenta. Fie un sistem de k ecuatii ale corectiilor, cu aceiasi coeficienti ai necunoscutelor x, insa cu termenii liberi diferiti.]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-serii_fourier.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-statistica.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-subiect_de_olimpiada_etapa_judeteana_clasa_a_v_a.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-sume_si_produse.html 2000 deci, cu necesitate, trebuie sa existe printre cele 63 de numere cel putin doua egale. 1+2+3+. +47+. +61+62+47=2000 Nu putem intreba care este cel mai mare numar de numere egale cu proprietatea ceruta. Evident ca cele 63 de numere nu pot fi toate egale deoarece 2000 nu se divide cu 63. Printre cele 63 de numere nenule pot exista cel mult 62 de numere egale cu proprietatea ca suma lor este 2000. De exemplu: 1+1+1+. +1 (de 62 ori) +1938=2000 Daca exista 62 de numere egale, ele verifica ecuatia: x+x+x+. +x (de 62 ori) +y=2000 62x+y=2000, x si y apartin de N* 7. Fie d1, d2, ..., dk toti dintre divizori narurali a numarului natural n. Demonstrati ca: (d1 d2 d3: .: dk) =n la puterea k Inmultind membru cu membru, obtinem: De aici obtinem: (d1 d2 d3. dk) 2=n la k Evident, doi dintre divizori sunt 1 si n. Rezulta ca d1=1, iar dk=n. Sa demonstram ca daca S este suma divizorilor naturali ai numarului natural n >, iar k numarul acestora, atunci exista dubla inegalitate: 8. Sa se calculeze sumele: b) S2=1 1! +2 2! +. +100 100! Vom incerca sa scrim fiecare termen al sumelor date ca o diferenta de de doi termeni]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-teorema_lui_cauchi.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-teorema_lui_rolle.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-teoreme_si_definitii_matematice.html 90 de grade Unghiurile adiacente au varful comun, o latura comuna si laturele necomune de oparte si de alta a laturii commune. Bisectoarea interioara a unui unghi propriu inseamna o semidreapta interioara a unghiului cu originea in varful unghiului si care imparte unghiul in doua unghiuri congruente. Doua unghiuri se numesc suplimentare daca suma masurilor lor este 180 de grade. Doua unghiuri se numesc complementare daca suma masurilor lor este 90 de grade. Unghiurile opuse la varf au varful comun iar latura unuia in prelungirea celuilalt. Suma masurilor unghiului cu varful intr-un punct a unei drepte si de aceeasi parte a dreptei este de 180 de grade. Mediana intr-un triunghi este segmenul pe dreapta determinate de varful unei laturi si mijlocul laturei opuse. La triunghiul echilateral cele trei mediane coincid cu cele trei bisectoare. Cazurile de congruenta ale triunghiurilor oarecare reduce numarul de conditii de la 6 la 3 suficiente pentru a arata ca doua triunghiuri sunt congruente. In general cand avem de demonstrat ca doua segmente sau doua unghiuri sunt cogruente, le incadram in doua tringhiuri despre care vom arata casunt congruente cu ajutorul cazurilor de congruenta (LUL, LLL, ULU). Atunci conform definitiei triunghiurilor congruente vom deduce ca si elementele noastre sunt congruente. Linia mijlocie in triunghi este segmentum de dreapta ce uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului. Daca intr-un triunghi avem o linie mijlocie atunci ea este paralela cu a treia latura. Intr-un triunghi linia mijlocie este egala cu a doua latura. Masura liniei mijlocie este egala cu jumatatea liniei a treia. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180. Masura unui unghi exterior al unui triunghi este egala cu suma unghiurilor interioare nealaturate lui. Intr-un triunghi inaltimile sunt congruente. Aria unui triunghi este jumatate din produsul oricarei laturi si a inaltimii corespunzatoare. Intr-un tringhi dreptunghic cateta opusa unghiului de 30 este jumatate din ipotenuza. In orice triunghi fiecare latura este mai mica decat suma celorlalte doua si mai mare decat diferenta lor. Intr-un triunghi latura mai mare se opune unghiului mai mare. Intr-un patrulater convex suma masurilor unghiurilor este de 360. Triunghiul cu latura de 60 se numeste triunghi echilateral. Se numeste paralelogram patrulaterul convex cu laturele opuse paralele. Intr-un paralelogram laturele opuse sunt congruente. Intr-un peralelogram unghiurile opuse sunt congruente. Daca intr-un]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-thales_din_milet_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-thales_din_milet_biografie.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-transformata_laplace_radida.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-trasarea_graficului_unei_functii.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-algoritmi_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-algoritmul_simplex.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-algoritmul_simplex_dual.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-aplicatii_si_completari_la_teorema_lui_pitagora.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-cercul_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-chestiuni_de_matematica_distractiva.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-derivate_de_ordinul_n.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-determinanti_trigonometrici.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-ecuatii_de_gradul_al_doilea_relatiile_lui_viete.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-ecuatii_de_gradul_i_modulul_numerelor_reale.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-exemple_de_probleme_de_programare_liniara.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-extragerea_radicalului.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-geometria_diferentiala_afina.html 0 si ca M este de asemenea orientat. Vom construi mai intii o teorie locala. Alegem un cimp vectorial transversal in vecinatatea U a lui M in asa fel incit sa avem (1. 1) pentru fiecare xiU in asa fel incit orientarea lui M urmata de coincide cu orientarea lui R. Fie X si Y cimpuri vectoriale in U. Putem descompune D f (Y) folosind (1. 1) si avem (1. 2) in fiecare punct xiU. La fel ca si in teoria clasica a hipersuprafetelor in spatiul Euclidian, putem verifica ca este o conexiune afina invarianta la rotatii in U, h este un cimp tensor care defineste o forma simetrica biliniara pe fiecare spatiu tangent Tx (M). Numim conexiunea afina determinata si h forma afina fundamentala corespunzind lui Putem de asemenea descompune D dupa cum urmeaza: (1. 3) unde S este un cimp tensor de tipul (1, 1), numit]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-grafice_de_functii_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-grafice_de_functii_varianta_2.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-impartirea_polinoamelor.html 0, atunci exista doua plinoame cu coeficienti complecsi q si r a. i. 1. Existenta f = an Xn + an-1 X n-1 + +a1 X+a0 C[x] g= bm Xm +bm-1 X m-1 + +b1 X +b0 C[x] grad f = n grad g = m 1. n < m q = 0 f=0*g+f 2. n >= m an / bm an Xn / bm Xm q1= (an / bm) * X n-m f= ( (an / bm) * X n-m) *g + f1 (1) grad f1 = n1 = gr g f1= ( (an1 / bm) * X n1-m) *g + f2 (2) gr f2=n2 =m f2= ( (an2 / bm) * X n2-m) *g + f3 (3) p pasi p+1 fp= ( (anp / bm) * X np-m) *g + fp+1 (p+1) gr f p+1 Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-integrale_definite_sume_reimann.html 0, ( ( (>0 cu proprietatea ca ( (o diviziune a intervalului [a, b] si (i) un sistem de puncte intermediare, (i ([xi-1, xi] cu || (||< (sa avem | (f, (i) if |< . if se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b] b notez: if = (f (x) *dx. a b Obs: 1) Numarul real if este unic; (f (x) *dx este unica. a Demonstratie: P. p. a. ca (i1 (i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru (>0 ( (k, (>0 (k=1, 2) astfel incat pentru orice diviziune: (= (x0, x1, , xn) a lui [a, b] cu || (|| < (si orice puncte intermediare xi-1 (i (xi (1 (i (n) sa avem: | (f, () -ik|< (/2 (k=1, 2). Luand (= min (1, (2, () rezulta ca pentru orice diviziune (a lui [a, b] cu || (||< ( (si orice sistem ( (i) de puncte intermediare asociat lui (, avem: | (f, () -i1| < (/2 si | (f, () -i2| < (/2, deci: |i1 i2| < |i1 (f, () | + | (f, () -i2| < (/2+ (/2 = (. Cum (> 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1 (i2 (contradictie. Deci if este unic. 2) f: [a, b] (R f integrabila in sens Riemann pe [a, b] (f marginita pe [a, b] Demonstratie: f integrabila pe [a, b] (if (R a. i. (o diviziune a lui [a, b] si ( (>0, (>0 pentru care || (||< (| (f, (i) if |< (i un sistem de puncte intemediare. Arat ca f este marginita pe [xk-1, xk] (x, i (k Fie (i= (xi, i=k n n (f, (i) = (f ( (i) * (xi-xi-1) = (f (xi) * (xi-xi-1) + f (x) * (xk-xk-1) i=1 i=1 i (k | (f, (i) if | < ( (< (f, (i) if < (/+ if (+ if < (f, (i) < (+ if n (+ if < (f (xi) * (xi-xi-1) + f (x) * (xk-xk-1) < (+ if i=1 i (k 1/ (xk-xk-1) *[(+ if (f (xi) * (xi-xi-1)] < f (x) < 1/ (xk-xk-1) *[(+ if (f (xi) * (xi-xi-1)] M1 M2 M1< f (x) < M2 (f marginita pe [xk-1, xk] (k ({1, 2, , n} (f marginita pe [a, b] 3) f, g: [a, b] (R A ([a, b] A finita, cu proprietea: g integrabila pe [a, b] f (x) =g (x) (x ([a, b]A atunci: a) f integrabila pe [a, b] b b b) (g (x) *dx = (f (x) *dx a a Demonstratie: Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}. Functia g fiind integrabila, este marginita, deci (M1 (0 astfel incat: |g (x) | (M1 (x ([a, b] Luand M = max (M1, |f (c) |) (f (x) (M si g (x) (M (x ([a, b]. g integrabila (> 0, (> 0 a. i.: b | (g, (i) (g (x) *dx | < (/2 a (= (x0, x1, , xn), cu || (|| < (si (sistemul de puncte intermediare (i. Luand ( (= min (/ (8*M) ), avem (si 4*M* ]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-integrarea_diferentialelor_binome.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-kovalevskaya_sofia.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-legile_fundamentale_ale_opticii_geometrice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-augustin_louis_cauchy.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-david_hilbert_marele_profesor.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-henri_poincare_geniul.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-joseph_louis_lagrange.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-pythagoras_invatatorul_intelepciunii.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-matrici_varianta_2.html (un minor de ordin k (0 si toti minorii de ordinul k (sunt nuli. =>atunci toti minorii de ord > k+1 sunt nuli. A (M m, n (C) B (M m, n (C) A*B (M m, n (C) K >0 si k = min (m, p) Deci C este o combinatie liniara de minori de ordinul k ai matricei A. Analog se arata ca C este o combinatie liniara de minori de ordinul k ai matricei B. T3. Rangul produsului A*B = rangul lui A si rangul lui A*B = rangul lui B. Demonstratie: presupunem ca (minor de ordinul k a lui A sau B sunt nuli conform T2 => minorii de ord k ai matricei A*B care sunt combinatii liniare de ordinul k ai matricei A sau B sunt nuli din def rang (AB) = rang (A) rang (AB) =rang (B)]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-matrice_exercitii_rezolvate.html rang A=4. =>rang (A) <4 =>rang (A) =3. b) 4. a) d (0 =>rang (A) =4. 7. Sa se afle (pt. ca matricea A are rangul minim: c1-2c2 c3-c2 =140+12*16+10 (+110-20*16-20+42 ( (+11) pt (=-45/4 =>grad minim=3. 8. Sa se calculeze rangul: (=64 (1, 2=-1+-4 pt (=3 sau (=-5 =>rang (A) =2 pt ( (3 sau (-5 => rang (A) =3 pt (=1/13 sau (=-1/3 =>rang (A) =2 pt (1/13 sau ( (-1/3 => rang (A) =3]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-metoda_de_determinare_a_rangului_unei_matrice.html rangul lui (A) =1. Daca (un minor de ordinul 2 nenul se construieste prin bordare un minor de ordinul 3.]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-notiuni_generale_privind_problema_programarii_liniare.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-permutari.html s (j). Numarul inversiunilor intr-o permutare se noteaza cu M (s) <= Cn˛. 6. Signatura unei permutari. Fie se Sn. Numarul ? (s) = (-1) se numeste signatura (semnul) permutarii s. -1 daca M (s) este impar *s se numeste permutare para daca are un numar par de inversiuni. *s se numeste permutare impara daca are un numar impar de inversiuni. Teorema 1. Orice transpozitie este o permutare impara. Teorema 2. Daca s e Sn atunci ( (s) = ? (s (i) - s (j) ) / (i-j). Teorema 3. Daca s, t eSn atunci ( (sot) = ( (s) o ( (t). Teorema 4. Daca s eSn este o permutare atunci s poate fi descompusa ca produs de transpozitii. Obs: Daca s este para ea poate fi descompusa ca produs par de transpozitii si daca este impara ea poate fi descompusa ca produs impar de transpozitii. Aplicatii. 1. Fie permutarile s=1 2 3 4 si t=1 2 3 4. Sa se calculeze 2 4 1 3 4 1 2 3 sot si tos. sot =1 2 3 4 tos =1 2 3 4 3 2 4 1 1 3 4 2 2. Sa se determine numarul de inversiuni si signatura pentru fiecare dintre permutarile urmatoare: * 1 2 3 2 3 1 M (s) =2 => ( (s) =1 * 1 2 3 4 2 4 1 3 M (s) =3 => ( (s) =-1 * 1 2 3 4 4 1 2 3 M (s) =3 => ( (s) =-1 * 1 2 3 4 5 5 3 4 1 2 M (s) =8 => ( (s) =1 3. Fie permutarea s = 1 2 3 4 5. Sa se scrie s ca produs de 3 1 2 5 4 transpozitii. Aceeasi problema pentru permutarea t=1 2 3 4 5 6. 6 4 5 3 2 1 * (4, 5) os = 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 = s1 1 2 3 5 4 3 1 2 5 4 3 1 2 4 5 (1, 3) os1 = 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 = s2 3 2 1 4 5 3 1 2 4 5 1 3 2 4 5 (2, 3) os2 = 1 2 3 4 5 o 1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 = e 1 3 2 4 5 1 3 2 4 5 1 2 3 4 5 s = (4, 5) o (1, 3) o (2, 3) * (1, 6) ot = 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6 = t1 6 2 3 4 5 1 6 4 5 3 2 1 1 4 5 3 2 6 (2, 5) ot1 = 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6 = t2 1 5 3 4 2 6 1 4 5 3 2 6 1 4 2 3 5 6 (3, 4) ot2 = 1 2 3 4 5 6 o 1 2 3 4 5 6 = 1 2 3 4 5 6 = t3 1 2 4 3 5 6 1 4 2 3 5 6 1 3 2 4 5 6 (2, 3) ot3 = e t = (1, 6) o (2, 5) o (3, 4) o (2, 3). 4. Fie permutarea se S2n s = 1 2 3 4 n n+1 n+2 2n 1 3 5 7 2n-1 2 4 2n. Sa se determine numarul inversiunilor permutarii s. Sa se determine n astfel incit s sa fie para]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-perpendiculara_comuna_a_doua_drepte_din_spatiu.html Dintr-un punct din spatiu am dus pe o dreapta 2 perpendiculare =>F => (a. i (MN?a) b Fie AA perpendiculara comuna a dreptelor necoplanare d, d si M (d, M (d a. i (AM) ( (A M). Sa se afle locul geometric al mijlocului segmentului [MM]. Rezolvare 1. Gasirea locului Fie (a. i d Fie (= (AA, d); AA ( AA (d (AA ( d (=d Prin A duc d (d => (d, d) = (M (M (d M (={d } Fie MM (d (M (d) M M ( (MM (MM M M =paralelogram M M (d (M M (AA (M M AA (d Fie S a. i [M S] ([SM] P a. i [M P] ([PM] Q a. i [M Q] ([QM] [PQ] (M M ([PQ] ([AA] (PQ, AA) = plan mediator pentru diedrul , () AA (d AA (d (AA (d, d) A (d, d) (AQ (d, d) (AA (AQ Q (d, d) AA (PQ (AA PQ=dreptunghi Fie (=[AA, M si =[AA, M Pt M =A si M=A, O (l. g Unim pe O cu S (mijloacele a 2 laturi paralele in dreptunghi) (OS (AA si OS (PQ 2. () N (d si N (d a. i (A N (= (AN (si (NS (= (N S (=> OS (AA si OS =OS Se construieste dreptunghiul A P Q A situat in planul mediator al diedrului, () Analog ca la punctul anterior. (OS (A A (OS =OS (pe o dreapta (AA) din plan (planul mediator), pe un punct (O) se poate duce o singura perpendiculara) (l. g al mijlocului segmentului MM este o dreapta perpendiculara pe AA in mijlocul ei, situata in planul mediator al diedrului, () 3. Fie S (planului mediator al diedrului, (), S O (AA ([A T] ([AT] T, T sunt coturile paralelogramuli in care S e mijlocul diagonalei TT A P (AQ A P Q A dreptunghi (analg dem. anterioara) [T P] ([P T] (plan mediator) (T A P (T A P (T A (A T A T (TA (T A (TA (l. g este format din reuniunea a doua drepte perpendiculare ce trec prin mijlocul segmentului [AA], situate in planul mediator al planelor determinte de cele doua drepte (d, d) si paralelele duse la fiecare din ele prin piciorul perpendicularei comune.]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-pitagora_varianta_1.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-problema_transportului.html (N) problema este neechilibrata. Introducem un consumator fictiv:]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-probleme_de_programare_liniara_propuse_spre_rezolvare.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-progresiile_biaritmetice.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-progresii_aritmetice_si_geometrice_varianta_1.html =1) in care fiecare termen incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant r, numit ratie, se numeste progresie aritmetica. P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa. P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor. P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi. Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2 P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen: Sn = (A1 + An) *n / 2 P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia: Sn = [2*A1 + (n-1) *r]*n/2 4. APLICATII 1 (pag71). Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului, cu termenul al n-lea dat de formula: An = 2 (la puterea -n) A0 = 2 (la puterea 0) = 1 A1 = 2 (la puterea -1) = 1/2 A2 = 2 (la puterea -2) = 1/4 A3 = 2 (la puterea -3) = 1/8 A4 = 2 (la puterea -4) = 1/16 A5 = 2 (la puterea -5) = 1/32 Xn = 5+4*n X0 = 5 X3 = 17 X1 = 9 X4 = 21 X2 = 13 X5 = 25 2 (pag. 72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile: 1, 3, 5, 7, 9, ; => An = A1 + (n-1) *r = 1 + (n-1) *2 = 2*n 1 2, 4, 6, 8, 10, ; => An = A1 + (n-1) *r = 2 + (n-1) *2 = 2*n 3, -3, 3, -3, ; => An = 3* (-1) (la puterea n) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ; => An = 1/3 (la puterea n) 3 (pag. 72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula Xn = 6- 4*n. Este termen al acestui sir numarul: -102 (DA) 6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27 -132 (NU) 6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale) 100 6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale) 7 (pag. 72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca: A1 = 7, r = 2 A2 = A1 + r = 9 A3 = 11 A4 = 13 A1 = -3, r = 5 A2 = A1 + r = 2 A3 = 7 A4 = 12 16 (pag. 73). Sa se rezolve ecuatiile: 1 + 7 + 13 + +X = 280 An = A1 + (n-1) *r X = 1 + (n-1) *6 X = 6*n 5 Sn = (A1 + An) *n/2 = 280 (A1 + X) *n/2 = 280 => (1 + 6*n-5) *n/2 = 280 6*n (la puterea 2) -4*n -560 = 0 D = 3364 => n1 = 10; n2 = -28 (nu convine) =>X = 6*10 -5 = 55 (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + + (X + 28) = 155 An = A1 + (n-1) *r X + 28 = X + 1 + (n-1) *3 27 = (n-1) *3 => n = 10 S10 = (A1 + A10) *10/2 = 155 => 2*X + 29 = 31 => X = 1 20 (pag. 73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n (la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica. S1 = A1 S2 = A1 + A2 S3 = A1 + A2 + A3 Sn-1 = A1 + A2 + + An-1 Sn = A1 + A2 + + An-1 + An A1 = S1 = 4 A2 = S2 - S1 = 1 A3 = S3 - S2 = 3 A4 = S4]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-proprietati_ale_legilor_de_compozitie.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-rangul_unei_matrice.html 1. Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural r, 1 Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-regula_lui_lhopital.html 0. Presupunem ca: 1. f si g sunt derivabile pe (a, (); 2. lim f (x) = lim g (x) = l, unde l = 0, (sau - ; 3. g (x) (0pentru orice x suficient de mare (x (A, A (a); f (x) 4. Exista (= lim ; g (x) f (x) Atunci exista si limita lim , egala cu (. g (x) (un enunt similar are loc pentru x (- () 1 Demonstratie. Presupunem l = 0. Facem schimbarea de variabila x = (. 1 u Intervalul (a, () se transforma in (0, () in sensul ca, daca x (a, (), atunci 1 a 1 1 u (0, (si reciproc. Notam (u) = f (), (u) =g (); deoarece l=0, avem a u u 1 1 lim (u) = lim (u) = 0. Derivatele lor vor fi (u) = - (f (), 1 1 u u ( (u) = - (g (). Putem aplica functiilor (si (teorema 2 si rezulta: u u In calculul]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-relatia_lui_van_aubel_si_aplicatii.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-relatii_de_recurenta_la_siruri.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-reprezentarea_grafica_a_functiilor_reale_varianta_2.html functia e simetrica fata de origine c) continuitatea functiei d) periodicitatea 3) Asimptote orizontale verticale oblice 4) Derivata intai calculul derivatei intai radacinile derivatei intai si valorile funtiei pe radacinile derivatei tabelul 5) Derivata a doua calculul derivatei a doua radacinile derivatei a doua si valorile functiei pe radacinile derivatei determinarea punctelor de inflexiune, de maxim si minim local semnul derivatei a doua 6) Tabelul de variatie al functiei 7) Trasarea graficului - in grafic se incepe cu trasarea asimptotelor Exemple: 1) a) f: R (R b) f (x) =0 c) f (0) =0-0=0 2) a) b) f (x) =f (-x) => functie para => graficul este simetric fata de axa Ox 3) Asimptote nu exista 4) Derivata intai f (0) =0 f (2) =-16 f (-2) =-16 5) Derivata a doua 1) a) f: R{0} (R b) f (x) =0 c) f (0) = nu exista 2) a) x ( (- (, -4) ( (0, 4) => f (x) <0 x ( (-4, 0) ( (4, + () => f (x) >0 b) f (x) =f (-x) => functie para => graficul este simetric fata de axa Ox c) functia este continua pe R{0} 3) Asimptote y=x => asimptota oblica la ( ( 4) Derivata intai 5) Derivata a doua Alte grafice de functii:]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-schema_lui_horner.html 0 prin polinomul X-a este egal cu valoarea f (a) a polinomului f in a. Aceasta teorema ne ajuta sa gasim restul impartirii unui polinom oarecare prin polinomul X-a fara a mai face impartirea. Ex: Sa se gaseasca restul impartirii polinomului f = X 3 - 2 X 2 + X + 1 prin binomul X-2. R= f (2) =2 3 2*2 2 +2 +1=3. Teorema are dezavantajul ca nu ne spune nimic asupra citului impartirii polinomului f prin X-a. Procedeu de aflare a catului: f = an X n +a n-1 X n-1 +. + a 0 f = (X a) q + r (2) grad f = n (grad q = n 1 (q = bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2 +. +b0 (2) an X n +a n-1 X n-1+. + a 0 = (X-a) (bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2+. +b0) + r n-1 n-2 n-1 n-2 n-1 (X - a) (bn-1 X +bn-2 X +. +b0) =bn-1 X +bn-2 X +. + b0 X- abn-1 X - n-2 -abn-2 X - - ab 0 n n-1 n-2 =bn-1 X + (bn-2 - abn-1) X + (bn-3 abn-2) X + + (b0 - ab1) X ab0 n n-1 n n-1 n-2 (2) anX +a n-1 X +. + a 0==bn-1 X + (bn-2 - abn-1) X + (bn-3 abn-2) X + + + (b0 - ab1) X ab0 a n =b n-1 a n-1 =b n-2 - ab n-1 a n-2 =b n-3 - ab n-2 (3) . a 1 =b 0 -ab 1 a 0 =r -ab 0 b n-1 = a n b n-2 = a n-1 + ab n-1 b n-3 = a n-2 + ab n-2 (4) . b 0 = a 1 + ab 1 r = a 0 + ab 0 X n X n-1 X n-2. X 1 X 0 an an-1 an-2 a1 a0 an an-1+abn-1 an-2 +abn-2 a1+ab1 a0+ab0 bn-1 bn-2 bn-3 b0 r Observatie: schema lui Horner ne ofera doar un procedeu de obtinere al catului nu si unul de determinare a restului!]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-siruri_criterii_de_convergenta.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-siruri_definite_prin_termenul_general.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-subgrup.html (lege de compozitie interna pe H i. (x, y (H => x (y (H 2i. (x (H =>x (H =>x (x (H dar x (x =e =>e (H 2. (: H (H op. indusa H parte stabila a lui G (G, () un grup => (asociativa pe G => (asociativa pe H (e (H a. i. x (e=e (x =x (x (H (x (H, (x (H a. i. x (x =x (x =e =>H=Grup Exemple 1. Fie (G, () un grup, e elementul neutru si E={e}. Atunci E este subgrup al lui G, numit subgrup unitate. Daca x, z (E =>x=y=e deci x (y=y (x=e (E x =e =e (E 2. Fie n>=0 un numar intreg si nZ multimea tuturor multiplilor lui n, nZ={nh | h (Z} Atunci nZ este subgrup al grupului (Z, +). Adevarat: daca x, y (nZ, (h, k (Z a. i. x=nh, y=nk =>x+y=nh+nk=n (h+k) (nZ -x= - (nh) =n (-h) (nZ deci nZ este subgrup al lui (Z, +) Definitie Fie (G, () un grup, a (G si n>0. Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G daca an =e si ah (e, h=1, 2 n-1]]> Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L. http://www.tocilar.ro/referat_scolar~categorie-matematica~nume-teoreme_analiza.html Tocilar.ro - IntelliSynaptics Software Development S.R.L.